Für Nr. 2 könnte es so gehen:
Für jedes Delta > 0 gilt: In jeder Delta-Umgebung von 1 liegen sowohl Elemente mit positivem als
auch mit negativem Funktionswert. Um das zu zeigen berechne
f(1-0,5delta) = 2/delta also positiv und f(1+0,5delta) = -2/delta also negativ.
Nun kann man drei Fälle unterscheiden:
1. Fall Sei a>0. Wähle dann epsilon = a/2
Dann liegen in der epsilon-Umgebung von f(1)=a die Werte von
a-a/2 bis a+a/2 also von a/2 bis 3a/2 und die sind alle positiv, also gibt es wegen
der Vorüberlegung keine delta-Umgebung, deren Elemente alle in diese
epsilon-Umgebung abgebildet werden.
2. Fall a<0 Das geht entsprechend mit epsilon = -a/2
3. Fall a=0 Wähle dann epsilon = 0,5.
Sei nun delta > 0 undf für alle x mit | x-1| < delta würde gelten
| f(x)-f(1)| < epsilon also |f(x)| < epsilon also |f(x)| < o,5
Dann würde dies auch für jedes kleinere positive delta gelten.
Da für x=1+0,5delta die Bedingung t | x-1| < delta erfüllt ist
ist auch | f(1+0,5delta)| < 0,5 also | 2/delta | < 0,5 also, da delta positiv
ist delta > 2, im Widerspruch zur Aussage, dass die Bedingung
auch für jedes kleinere positive Delta gilt