Frage zur Anwendung des Epsilon Delta Kriteriums und der Beweis damit.

Question

Hallo Community!

Ich habe einige Aufgaben auf dem momentanen Blatt, bei denen Ich nicht weiterkomme.

1) Sei D⊆ℝ. Sei f: D→ℝeine Funktion. Wir definieren die Funktion g: D→ℝ durch g(x) := |f(x)|.

1.1) Beweisen Sie mit ε und δ: Ist f stetig, dann ist g auch stetig.

1.2) Gilt auch die Rückrichtung in 1.1?

2) Sei a∈ℝ. Wir definieren die Funktion f: ℝ→ℝ durch

$$ f(x):=\begin{ cases } \frac { 1 }{ 1-x } ,\quad falls\quad x\quad \neq \quad 1 \\ a,\quad falls\quad x\quad =\quad 1 \end{ cases } $$

2.1) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f für a=2.

2.2) Beweisen Sie mit ε und δ, dass f nicht stetig in 1 ist.

Anhand der Zeichnung darf ich das ja leider nicht beweisen. Die Zeichnung habe ich schon gemacht und sehe ja, dass f nicht stetig ist. Nur ist die Frage, wie ich da das ε - δ Kriterium anwenden kann.

Comments

Die Formel die eingegeben wurde lautet: $$ f(x):=\\\frac { 1 }{ 1-x } ,\quad falls\quad x\quad \neq \quad 1 \\ a,\quad falls\quad x\quad =\quad 1 $$

Hab das mit den {case} nich hingekriegt und dann war auch schon die Zeit zum bearbeiten futsch.

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Hi die Aufgabe 1 gabs jetzt schon öfter:

https://www.mathelounge.de/174432/beweisen-sie-mit-epsilon-und-delta#c175456

Answer 1

Für Nr. 2 könnte es so gehen:
Für jedes Delta > 0 gilt:  In jeder Delta-Umgebung von 1 liegen sowohl Elemente mit positivem als
auch mit negativem Funktionswert.  Um das zu zeigen berechne
 f(1-0,5delta) =  2/delta  also positiv und  f(1+0,5delta) = -2/delta also negativ.

Nun kann man drei Fälle unterscheiden:
1. Fall  Sei a>0.    Wähle dann epsilon = a/2
Dann liegen in der epsilon-Umgebung von f(1)=a die Werte von
a-a/2 bis a+a/2 also von  a/2  bis  3a/2 und die sind alle positiv, also gibt es wegen
der Vorüberlegung keine delta-Umgebung, deren Elemente alle in diese
epsilon-Umgebung abgebildet werden.

2. Fall   a<0  Das geht entsprechend mit epsilon = -a/2

3. Fall  a=0  Wähle dann epsilon = 0,5. 
Sei nun delta > 0  undf für alle x mit  | x-1| < delta würde gelten
  | f(x)-f(1)| < epsilon also   |f(x)| < epsilon   also |f(x)| < o,5

Dann würde dies auch für jedes kleinere positive delta gelten.

Da  für x=1+0,5delta die Bedingung t  | x-1| < delta erfüllt ist
ist auch | f(1+0,5delta)| < 0,5  also  | 2/delta | < 0,5 also, da delta positiv
ist   delta > 2, im Widerspruch zur Aussage, dass die Bedingung
auch für jedes kleinere positive Delta gilt