Für welche x ∈ R konvergiert die folgende Reihe Σ ( 1 -1/x)^k?

Question

Ich muss herausfinden, für welche x ∈ R die folgende Reihe konvergiert:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k} \)

Σ ( 1 -1/x)^k

und gesucht ist auch der Grenzwert.

Answer 1

Du hast es eigentlich mit einer geometrischen Reihe zu tun. Der Quotient q  ist

q = 1 - 1/x = (x-1)/x

Da kennst du bestimmt die Konvergenzvoraussetzungen (Ungleichung für q) und eine Formel zur Berechnung des Grenzwertes.

Answer 2

ist eine geometrische reihe mit q=1-1/x

also GW    1 / ( 1- (1-1/x)) = 1 / (1/x) = x

für | 1-1/x  | < 1   also |x| > 1