Aufgabe 1:
Sei \( A \in M_{n}(\mathbb{R}) \) eine invertierbare Matrix und sei \( b \in M_{n, 1}(\mathbb{R}) \) ein Spaltenvektor. Zeigen Sie: Das Gleichungssystem \( A x=b \) hat eine eindeutige Lösung, wobei die Einträge des Lösungsvektors \( x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{\mathrm{T}} \) gegeben sind durch
\( x_{k}=\frac{\operatorname{det}\left(A_{k}(b)\right)}{\operatorname{det}(A)} \)
für alle \( k \in\{1, \ldots, n\} . \) Hierbei bezeichnet \( A_{k}(b) \in M_{n}(\mathbb{R}) \) diejenige Matrix, die aus \( A \) entsteht, indem wir den \( k \)-ten Spaltenvektor durch \( b \) ersetzen:
\( \left(A_{k}(b)\right)_{i, j}=\left\{\begin{array}{ll} b_{i} & \text { falls } j=k \\ A_{i, j} & \text { sonst. } \end{array}\right. \)
Aufgabe 2:
Sei \( A \in M_{n}(\mathbb{R}) \), seien \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) die Zeilenvektoren von \( A \) und seien \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \) reelle Zahlen, die nicht alle gleich Null sind. Zeigen Sie: Wenn
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \lambda_{k} v_{k}=0 \)
gilt, dann ist \( \operatorname{det}(A)=0 \).
Aufgabe 3:
Für jedes \( n \in \mathbb{N} \) sei
\( A_{n}:=\left(\begin{array}{ccccccc} 3 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 3 \end{array}\right) \in M_{n}(\mathbb{R}) \)
die Matrix mit
\( \left(A_{n}\right)_{i, j}=\left\{\begin{array}{ll} 3 & \text { falls } i=j \\ 1 & \text { falls } i=j+1 \\ 2 & \text { falls } i=j-1 \\ 0 & \text { sonst. } \end{array}\right. \)
Zeigen Sie: \( \operatorname{det}\left(A_{n}\right)=2^{n+1}-1 . \)
Tipp: Induktion.
