Vollständige Induktion mit Matrix? Zeigen, dass A^n = ((1,n),(0,1))

Question

wie gehe ich eine Induktion mit matrizen an, bitte um einen nachvollziehbaren einfach erklärten Lösungsweg, danke.

Zeigen, dass A^n = ((1,n),(0,1)) 

Aufgabe
Sei \( A=\left(\begin{array}{ll}{1} & {1} \\ {0} & {1}\end{array}\right) . \) Mit \( A^{n} \) bezeichnen wir das \( n \) -fache Produkt, also \( A^{n}=\underbrace{A \cdot A \cdots+A}_{n \text { Mal }} \)
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass \( A^{n}-\left(\begin{array}{cc}{1} & {n} \\ {0} & {1}\end{array}\right) \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt. 

Answer 1

Induktionsafang

[1, 1; 0, 1]^1 = [1, 1; 0, 1]

Das sollte klar sein

Induktionsschritt

[1, n; 0, 1] * [1, 1; 0, 1] = [1, n + 1; 0, 1]

wzbw.

Answer 2

$$ IA:\\A^1=\begin{pmatrix}  1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\quad stimmt\\IS:\\{ A }^{ n+1 }=A^n*A=\begin{pmatrix}  1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}  1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}  1 & 1+n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\quad stimmt $$