Vollständge Induktion (Matrix)

Question

Aufgabe:

Seien n ∈ N und A ∈ R^n×n
eine Matrix mit aij = 0 für alle i, j ∈ {1,...,n} mit i > j. Zeigen Sie durch eine vollständige Induktion nach n ∈ N, dass
detA = a11 ···ann.

Answer 1

Hallo,

zu zeigen ist die Aussage \(\det(A) = \prod_i^n a_{i,i}\) für \(A \in \mathbb R^{n \times n}\), wenn in \(A\) gilt: \(a_{i,j} = 0\space \forall i \gt j\)

für \(n=1\) ist es trivial$$A = \begin{pmatrix}a_{1,1}\end{pmatrix}, \quad \det(A) = a_{1,1}$$Induktionsannahme: es gilt für \(A \in \mathbb R^{n-1 \times n-1}\). Im Induktionsschritt betrachtet man eine Matrix \(A \in \mathbb R^{n \times n}\) und berechnet die Determinante nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz.

Es gilt, wenn man nach der ersten Spalte entwickelt$$\det(A) = \sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i+1} \cdot a_{i,1} \cdot \det(A_{i,1})$$wobei \(A_{i,1}\) die Matrix \(\in \mathbb R^{n-1 \times n-1}\) ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und 1'ten Spalte entsteht. Hier ist nun aber \(a_{i,1} = 0\) für \(i>1\). Folglich reduziert sich das ganze zu$$\det(A) = (-1)^2 \cdot a_{1,1} \cdot \det(A_{1,1})$$und da für \(A_{1,1}\) laut Induktionsvoraussetzung gilt \(\det(A_{1,1}) = \prod_{i=2}^{n} a_{i,i}\) ist nun$$\det(A) = a_{1,1} \cdot \prod_{i=2}^{n} a_{i,i} = \prod_{i=1}^{n} a_{i,i}$$Gruß Werner