Äquivalenzrelation und Basis bestimmen

Question

Übung 1.

Untersuchen Sie jeweils, ob durch ~ eine Äquivalenzrelation auf R definiert ist (x,y aus R)

a) x~y :<=> xy -1 =0

b)x~y :<=>(xy -1 )*(x -y)=0

 

Übung 2.

Bestimmen Sie alle a aus R, für die

(( a, a+1, a +2),(a+2,a,a+1),(a+2,a,a+1))

eine Basis von R^3 ist.

Answer 1

Übung 1.

Untersuchen Sie jeweils, ob durch ~ eine Äquivalenzrelation auf R definiert ist (x,y aus R)

a) x~y :<=> xy - 1 = 0

x~x 
x^2 - 1 = 0

Das gilt nicht für alle x und damit ist es keine Äquivalenzrelation.

b) x~y :<=> (xy - 1)*(x - y) = 0

x~x
(x^2 - 1)*(x - x) = 0 --> erfüllt

x~y --> y~x
(xy - 1)*(x - y) = 0 --> (yx - 1)*(y - x) = 0
Das ist erfüllt, wenn Zahlen zueinander Kehrwerte sind oder sie gleich sind

x~y und y~z --> x~z
Das ist hier mit Sicherheit auch erfüllt.  Damit wäre das eine Äquivalenzrelation.

Comments

(( a, a+1, a +2),(a+2,a,a+1),(a+2,a,a+1))

Ist das richtig, dass der mittlere und der rechte Eintrag gleich sind? Damit hätte man höchstens 2 linear unabhängige Vektoren und das kann nie eine Basis des R3 sein.