wieso ist das eine Basis?

Question

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Aufgabe \( 10.4(6+4 \mathrm{P}) \). Sei \( n=2 \) und \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \). Entscheiden Sie, ob
\( \left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)\right\} \)
eine Basis von \( \mathcal{M}(2, \mathbb{R}) \) ist.
Geben Sie eine Basis des Vektorraums \( \mathcal{M}(n, \mathbb{K}) \) für einen beliebigen Körper \( \mathbb{K} \) an. Begründen Sie warum Ihre Wahl eine Basis bildet.

Wie kann man diese Aufgabe lösen?

Answer 1

Die Menge ist genau dann eine Basis von \(\mathcal{M}(2,\mathbb{R})\), wenn die Gleichung

\( \alpha\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+\gamma\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+\delta\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)

für jede Matrix \(\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right)\in \mathcal{M}(2,\mathbb{R})\) genau eine Lösung hat. Löse also obige Gleichung.

Übrigens: würdest du die Aufgabe lösen können, wenn es sich nicht um \(2\times 2\)-Matrizen, sondern Vektoren aus \(\mathbb{R}^4\) handen würde?