Konsistenz von Funktionsdefinition prüfen

Question

Aufgabe:

Konsistenz von Funktionsdefinition prüfen

Problem/Ansatz:

Hallo, folgendes Problem. Man soll prüfen, ob die Funktionsdef.

h': Q^4/<(6, -3, -4, 2)> mit h'([x]~) := \( \begin{pmatrix} 2 & 8 & -1 & 4 \\ -1 & -4 & -2 & -7 \\ 0 & 0 & -1 &-2 \end{pmatrix} \)

konsistent ist. Falls ja: Ist h' injektiv?

Weiß leider gar nicht, wie ich da vorgehen soll. Bin dankbar für jede Hilfe!

Answer 1

Hallo,

ich verstehe die Frage so: V ist der Quotienten-Raum \(\mathbb{Q}^4\) durch die lineare Hülle des Vektors \(w=(6,-3,-4,2)\). Die Abbildung ist definiert als

$$h:V \to \mathbb{Q}^3, \quad [x] \mapsto Ax$$

wobei A die angegebene Matrix ist.

Die erste Frage ist, ob h wohldefiniert ist. Das bedeutet: Wenn \(x \sim y\), also \([x]=[y]\), dann ist auch \(h([x])=h([y])\), also \(Ax=Ay\).

\(x \sim y\) bedeutet aber \(x=y+sw\) mit \(s \in \mathbb{Q}\). Daher ist \(Ax=Ay\) genau dann, wenn \(Aw=0\), das kannst Du ja mal prüfen.

Für die weitere Frage nach der Injektivität von h, kannst Du den Kern von A bestimmen und dann überlegen, was das über den Kern von A aussagt.

Gruß