Sei m eine nichtleere Menge von Untergruppen einer Gruppe G.
a) Zeigen Sie, dass dann ∩m eine Untergruppe von G ist.
Muss zeigen: ∩m enthält das neutrale El von G und zu jedem
x aus ∩m auch das Inverse von x und ist abgeschlossen bzgl. der
Verknüpfung von G
1. Alle Elemente von sind Untergruppen, enthalten also das neutrale El von G,
also ist dies auch im Durchschnitt aller Elemente von m.
2. ein x aus ∩mist in allen Elementen von m enthalten, jedes dieser
Elemente ist eine Untergruppe, enthält mit x also auch das Inverse von x
also ist das Inverse von x auch im Durchschnitt aller El. von m.
3. Seien x,y aus dem Durchschnitt, also sind x,y in allen Elementen vonm.
Die Elemente von m sind alles Untergruppen von G, enthalten mit x und y
also auch das Verknüpfungsergebnis von x und y, also ist dieses Ergebnis
auch in im Durchschnitt aller El. von m enthalten.
b) Zeigen Sie, dass die Menge der Untergruppen einer Gruppe bzgl. ⊆ ein Verband ist.
Hier muss man die Verbandaxiome prüfen.
c) Sei m eine nichtleere Menge von Normalteilern einer Gruppe G. Zeigen Sie, dass dann ∩m ein Normalteiler von G ist.
Kannst du ähnlich wie bei a) die Normalteilereigenschaft auf den Durchschnitt übertragen.
