Aufgabe:
Aufgabe:
(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom \( p(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I) \) der Matrix \( A \) für \( \lambda \in \mathbb{R} \) und
$$ I=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right) $$
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \) der Matrix \( A \), also die Nullstellen des Polynoms \( p(\lambda) \).
(c) Geben Sie die Eigenvektoren zu den Eigenwerten an, also die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems \( \left(A-\lambda_{j} I\right) x=0 \) für \( j=1,2,3 \)
Lösungen:
(a) \( p(\lambda)=\left|\begin{array}{ccc}2-\lambda & 1 & 2 \\ 1 & 2-\lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3-\lambda\end{array}\right|=(2-\lambda)\left|\begin{array}{cc}2-\lambda & 2 \\ 1 & 3-\lambda\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 1 & 3-\lambda\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{cc}1 & 2-\lambda \\ 1 & 1\end{array}\right|=\cdots=-\lambda^{3}+7 \lambda^{2}-11 \lambda+5 \)
(b) Nach Probieren von \( \lambda=1 \) erhalten wir mit Polynomdivision \( -\lambda^{3}+7 \lambda^{2}-11 \lambda+5=-(\lambda-1)\left(\lambda^{2}-6 \lambda+5\right)= \) \( -(\lambda-1)^{2}(\lambda-5) \) und damit die Eigenwerte der Matrix \( A, \lambda_{1}=\lambda_{2}=1, \lambda_{3}=5 \)
(c) Die Eigenwerte zum Eigenwert \( \lambda_{1}=1 \) erhalten wir aus dem linearen Gleichungssystem
$$ \left(A-\lambda_{1} I\right) x=(A-I) x=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right) x=0 $$
Nach einem Gauß-Schritt erhalten wir die Gleichung \( x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=0 \), also sind alle \( x=\alpha(1,-1,0)^{\top}+ \) \( \beta(2,0,-1)^{\top} \neq 0, \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) Eigenvektoren zu \( \lambda_{1,2}=1 \)
Zum Eigenwert \( \lambda_{3}=5 \) lösen wir das Gleichungssystem \( \left(A-\lambda_{3} I\right) x=(A-5 I) x=0 \), dies führt auf das Tableau
$$ \begin{array}{rrrrrrrrrrr} -3 & 1 & 2 & & 0 & 4 & -4 & & 0 & 4 & -4 \\ 1 & -3 & 2 & \rightarrow & 0 & -4 & 4 & \rightarrow & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & & 1 & 1 & -2 & & \mathbf{1} & 0 & -1 \end{array} $$
aus dem wir mit \( x_{3}=-\alpha \) die Lösungen \( x=\alpha(1,1,1)^{\top}, \alpha \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) erhalten.
Quelle: https://www.math.kit.edu/ianmip/lehre/am22011s/media/loesungen6.pdf
Mein Problem:
Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen. Eigenwerte habe ich mit 1, 1, und 5.
Ich habe die Lösung, kann damit aber nichts anfangen...
Also ich verstehe nicht wie man von x1+x2+ 2 x3= 0 auf den entsprechenden Eigenvektor kommt.
Hier die richtige Lösung:
Nach einem Gauf-Schritt erhalten wir die Gleichung \( x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=0 \), also sind alle \( x=\alpha(1,-1,0)^{\top}+ \) \( \beta(2,0,-1)^{\top} \neq 0, \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) Eigenvektoren zu \( \lambda_{1,2}=1 \)
