Wie müssen die Mengen A,B,C,D gewählt werden, sodass die verkettete Funktion g^{-1} mit f surjektiv ist?

Question

A,B,C,D sind  Teilmengen der reellen Zahlen. Es sind die Abbildungen
f :  A -> B , D(f) = A    mit  f(x) = x^2 +2x
g: C -> D , D(g) = C   mit g(x) = x^2  -1
gegeben.

Nun soll ich nichtleere offene Mengen A,B,C und D so bestimmen, dass die Abbildung
g^-1 (also Umkehrfunktion) verkettet mit f  surjektiv ist
und anschließend die verkettete Funktion zeichnen.
Als Hinweis wurde uns mitgeteilt die 3 funktionen zu zeichnen.

Hab nun die Funktionen f und g gezeichnet und die möglichen Bereiche von A,B, C und D für die beiden  gegebenen Funktionen bestimmt:
A= ℝ , C=ℝ
B=[-1 ;+∞[   D=[-1 ;+∞[

Nun habe ich für die Verkettung die Umkehrfunktion von g gebildet

y=x^2 -1
x=y^2 -1
y^2=x+1
y=±√x+1

und in diese für das x die funktion f eingestetzt
y=±√ (x² +2x+1)
y=±√ (x+1)^2
y=±(x+1)
y=|x+1|
Wenn ich mich nicht vertan hab sollte dies nun die verkettete Funktion sein. Jetzt verstehe ich nur nicht genau wie ich auf die Mengen A,B ,C und D kommen soll und ob das überhaupt ein richtiger Ansatz war :D

Mein Ansatz bisher ist das f ja surjektiv ist wenn man den wertebereich auf [-1; +∞[ einschränkt
und die Umkehrfunktion von g surjektiv ist mit den wertebereich ℝ

Comments

Ganz am Schluss solltest du diesen Übergang nicht machen.

y=±(x+1) 
y=|x+1| 

Das Obere sind 2 sich schneidende Geraden - Keine Funktion.

Das Untere ist zwar eine Funktion. Graph besteht aber nicht aus allen Punkten, die du oben noch hast. 

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ok das mit dem betrag kann ich nachvollziehen war ein denkfehler. Aber verstehe das mit den  Geraden nicht eig. ist doch g(x) z.b eine um 1 nach unten verschobene Normalparabel

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Zur Verkettung und der Geraden(hälfte), die da rauskommt:

Wenn du quadrierst und dann wieder die Wurzel ziehst, oder umgekehrt, bleibt im Wesentlichen nur etwas Lineares übrig.

In welcher Reihenfolge verkettet ihr? Üblicher ist eigentlich von 'rechts nach links'. Ihr müsstet das aber im Kurs festgelegt haben.

Abbildung 
(g^-1 verkettet mit f)(x) = g^{-1} (f(x))   

Answer 1

War nicht die Rede von offenen Mengen ?     [-1; +∞[  ist nicht offen
Ich glaube es geht mit A = IR^{+}    und A = IR^{+}
und C  = IR^{+}  und D = ] 1; unendlich [

Dann sind das jedenfalls alles offene Mengen.
Und g^{-1} ° f ist surjektiv, denn wenn z aus = ] 1; unendlich [  ist,
dann gibt es ein y ausIR^{+}    mit  g^{-1}(y) = z  nämlich  y = z^2 - 1
zu diesem y gibt es ein x  ausIR^{+}    mit   f(x ) = y   nämlich  x = -1 + √(y+1)
  oder eben  x = -1 + wu (  z^2 - 1 + 1) = - 1 + z

weil es zu jedem z aus ] 1; unendlich [ also ein x gibt mit

g^{-1} ° f   (x) = z ist surjektiv und die betrachteten Mengen sind alle offen. Bingo!