Integration abschnittsweise definierter Funktionen

Question

Das Thema ist Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Dabei soll die Integration abschnittweise berechnet werden. Jetzt ist meine Frage warum ?

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hast du ein konkretes Beispiel ?

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g(x) ={6x+3, x <2{8x-1, x><2

Integral von 1 bis 3 g(x)dx= integral 1 bis 2 g(x)dx+ integral 2bis 3 g(x)dx =[3x^2+3x]von 1 bis 2    + [4x^2-x]  von 2 bis 3=12+19=31

Answer 1

Wenn die Funktion stückweise definiert ist, musst du bei der Integration zwischendrinn den Integranden ändern.

Beispiel.

f(x) : = x+1 , für 0≤x≤2

f(x): = 2x, für 2<x≤3

f(x):= x-1, für 3<x≤ 5

Nun ist

∫₀⁵ f(x) dx = ∫₀² (x+1) dx +  ∫₂³ 2x dx +  ∫₃⁵ (x-1) dx 

Mach dir da an dieser Skizze klar: Identifiziere f und schraffiere den Flächeninhalt, der hier berechnet werden muss.

Comments

Zunächst danke für ihre Antwort. Jedoch wird mir der Grund immer noch nicht klar

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Das sollte nun so aussehen: 

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Vielen vielen Dank. Wie ist es mit dieser Aufgabe? Warum wurde der Integral abschnittsweise bestimmt ?

g(x) ={6x+3, x <2      

           {8x-1, x><2 

Integral von 1 bis 3 g(x)dx= integral 1 bis 2 g(x)dx+ integral 2bis 3 g(x)dx =[3x²+3x]von 1 bis 2    + [4x²-x]  von 2 bis 3 =12+19=31

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Warum wurde der Integral abschnittsweise bestimmt ?

Weil die Funktion abschnittweise definiert ist.Du meintest aber sicher

g(x) ={6x+3, x <2      

           {8x-1, x ≥ 2 

Zeichne hier beide Geraden in den Graphen und markiere die richtigen Stücke im Graphen.

Probiere das selbst mit

https://www.matheretter.de/tools/funktionsplotter/ und https://www.matheretter.de/rechner/geozeichner

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Genau das meine ich.  Ist das so richtig ?

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Ich habe jetzt mit dem Faktor 10 gestaucht, damit das Wichtige sichtbar bleibt..

In y-Richtung ist 3 und 20 gemeint (nicht 0.3 und 2).

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tut mir Leid, dass ich mich so dumm anstelle aber was meinst du mit de Faktor tauschen ? Wie muss die Gleichung dann aussehen ?

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Du musst nur die y-Achse anders anschreiben. Da steht vom Plotter 0.3 und 2.0.

Es sollte aber 3 und 20 stehen.

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Also kann ich das so zusammenfassen: Wenn die Funktion abschnittsweise differenzierbar ist, muss man die Integration auch abschnittsweise berechnen ? Und wenn es Stetig ist, ist es nicht notwendig oder?

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 Wenn die Funktion abschnittsweise definiert ist, muss man abschnittweise integrieren.

Eine Funktion muss nicht unbedingt differenzierbar oder stetig sein, damit sie integrierbar ist.