Das Rechnen mit konvergenten Folgen 22.1 VergleichssatzStrebt an →a, bn→b und ist fast immer (d.h. durchweg ab einem gewissen Index) an ≤ bn, so ist auch a≤b.Wäre nämlich a>b, so wäre ε:= (a-b)/2>0, fast alle an wären in Uε (a), fast alle bn in Uε(b) enthalten und Uε(a) würde rechts von Uε(b) liegen. Im Widerspruch zur Voraussetzung hätten wir also an>bn für fast alle Indizes.Gilt fast immer α ≤ an≤β, so folgt aus dem Vergleichssatz sofort die Grenzwertabschätzung α ≤ a≤β.Wie das Beispiel der gegen 1 konvergierenden Folgen (1-1/n) und (1+1/n) lehrt, kann aus an<bn für n=1,2,... nicht aus a<b, sondern eben nur auf a≤b geschlossen werden- so wenig dies auch nach dem Geschmack eines vage(aber innig) empfundenen "Kontinuitätsprinzips" sein mag. 22.2 EinschnürungssatzStrebt an →a und bn→a und ist fast immer a n ≤c n ≤b n, so strebt auch cn →a.Wählen wir nämlich ein beliebiges ε>0, so liegen fast alle an und fast alle bn in Uε(a). Dann müssen aber auch fast alle c n in Uε(a) liegen, d.h. es muss c n →a streben.Aus dem Einschnürungssatz folgt ohne weiteres der 22.3 SatzGilt mit der Nullfolge (αn) fast immer | an -a|≤ an, so strebt an →a.Beachtet man die Ungleichung || an |-|a||≤| an -a|, so enthält man aus diesem Satz und der ersten Bemerkung zum Vergleichssatz sofort den wichtigen 22.4 BetragssatzAus an →a folgt | an | →|a|. und ist fast immer | an |≤γ, so gilt auch |a|≤γ.Der nächste Satz besagt, dass man Nullfolge mit beschränkten Folgen multiplizieren "darf":22.5 SatzStrebt an → 0 und ist (b n) beschränkt, so auch an b n → 0.
Ist nämlich |b n |<β für alle n und bestimmt man nach Wahl von ε<0 ein n0, so dass |an|<ε bleibt für alle n>n0, so ist für diese n stets | an b n |=| an | |b n |<εβ, womit wegen der Bemerkung 3 nach Satz 20.3 bereits alles bewiesen ist.
Verstehe diese Sätze nicht Bitte um Erklärung evnt. mit BeispieleDanke
