sind die restklassenringe ℤ /nℤ nullteilerfrei

Question

Ein Ring (R;+;*) heißt nullteilerfrei, wenn für alle a,b ∈R aus a*b=0 folgt, dass a=0 oder b=0 gelten muss. Ansonsten heißen a und b nullteiler.

a.) Sind die Restklassenringe ℤ /nℤ  nullteilerfrei?

b.) Beweisen Sie, dass ℤ/pℤ, p ∈ ℙ nullteilerfrei ist

Answer 1

Sind die Restklassenringe ℤ /nℤ  nullteilerfrei?
 
a) Nö:   für n=4 gilt in  ℤ /4ℤ     2*2=0 aber 2ungleich 0

b.) Beweisen Sie, dass ℤ /pℤ  p ∈ ℙ nullteilerfrei is.

Angenommen es sind a,baus ℤ /pℤ mit a*b=0

Dann gibt es eine ganze Zahl z mit    a*b = z*p,

da p Primzahl ist, gilt dann  p teilt a  oder p teilt b

also in ℤ /pℤ    a=0  oder b=0.   q.e.d.