Hi,
die Aufgabe ist meiner Meinung nach nicht eindeutig lösbar. Es hängt davon ab, wie man den Mischprozess abschliesst. Jenachdem ob man mit der Zugabe von Diäthylenglykol oder mit der Zugabe von Wein aufhört, ergeben sich unterschiedliche Lösungen. Da man ja nach der Konvergenz für \( n\to \infty \) fragt, kann das eine oder das andere zutreffen.
Die Rekursionsgleichung lautet
$$ x_{n+1}=x_n(1-p)+p\frac{1-(-1)^{n+1}}{2} $$
mit \( x_0= \) Anfangsbestand von Diäthylenglykol.
Der letzte Summand ist entweder \( 0 \) oder \( p \)
Explizite Lösungen sehen wie folgt aus
$$ x_n=x_0(1-p)^n+p\sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}(1-p)^{2k+1} $$ falls \( n \) gerade ist, und
$$ x_n=x_0(1-p)^n+p\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]-1}(1-p)^{2k} $$ falls \( n \) ungerade ist. $$ $$
Über die Formel der geometrischen Reihe ergeben sich folgende Lösungen für \( n \to \infty \)
$$ x_\infty=\frac{p(1-p)}{1-(1-p)^2}=\frac{1-p}{2-p} $$
falls \(n \) gerade ist, oder
$$ x_\infty=\frac{p}{1-(1-p)^2}=\frac{1}{2-p} $$
fasll \( n \) ungerade ist.
Dei entsprechenden Lösungen für die Weinmenge lauten
$$ y_\infty=1-x_\infty $$
Der Quotient von Diäthylenglykol zu Wein ergibt sich zu
$$ 1-p $$
falls \( n \) gerade ist, oder
$$ \frac{1}{1-p} $$
falls \( n \) ungerade ist.
