Wir fassen die Funktionen cos : R −→ R, x 7−→ cos(x) und sin : R −→ R, x 7−→ sin(x)...

Question

Wir fassen die Funktionen

cos : ℝ→ ℝ,  x → cos(x) und sin : ℝ → ℝ,  x → sin(x) als Vektoren im reellen Vektorraum V aller Funktionen

f : ℝ → ℝ auf.

Zeigen Sie, dass die beiden Vektoren cos,sin ∈ V linear unabhängig sind.

Also ich weiß nicht was ich machen soll. Vielleicht soll ich die Nullstellen dieser trigonometrischen Funktionen ausnutzen?

Answer 1

nein, lin unabh. heißt ja für zwei Vektoren u und v
wenn eine Linearkombination
a*u + b*v den Nullvektor ergibt, dann geht das nur, wenn a und b beide Null sind.
Der Nullvektor im Funktionenraum ist die konstante Funktion mit Wert 0.

also denkst du dir a,b aus IR mit a*sin + b*cos = 0

dann gilt für alle x aus IR     a*sin(x) + b*cos(x) = 0

also insbesondere auch für x=0        a*sin(0) + b*cos(0) = 0

a*0      +  b*1    = 0   also b=0

aber auch für   x = pi/2          dann gibt es   a*1  +  b*0  =  0    also   a=0

Damit hast du: Es geht nur für a=0 und b=0,

also sind dei Vektoren lin. unabh.