Folge rekursiv definiert xn+1 =1/2(xn+a/xn) für n∈ℕ0

Question

Seien a≥0 und x₀ ≥0 reelle Zahlen. Die Folge (x_n)_n≥1 sei rekursiv definiert durch

x_n+1 =1/2(x_n+a/x_n) für n∈ℕ₀

Zeigen Sie:

(a) Die Folge (x_n)_n≥1 ist monoton fallend und nach unten beschränkt, also konvergent gegen einen Grenzwert x

(b) Es gilt x=√a

Hinweis: Es gilt lim n→∞ x_n = lim n→∞ x_n+1

Answer 1

Da a und xo beide nicht negativ, ist auch

der Quotient  a/x0   nicht negativ,

damit auch die Summe   xo  +   a/xo

und auch das 1/2 - fache davon nicht negativ.

So könnte man das per Induktion für alle xn beweisen:

Sie sind alle nicht negativ, die Folge also durch 0 nach unten beschränkt.

Gab es vielleicht noch eine Vor. über das a, etwa a < x0^2

sonst scheint mir das mit dem monoton fallend was schwierig

und würd auch nicht stimmen:

Für x0=2 und a=5 etwa wäre x1 = o,5 ( 2 + 2,5 ) = 2,25 also größer als xo

im Widerspruch zu monoton fallend.

Falls allerdings a < x0^2 , dann kannst du auch mit Induktion beweisen, dass

die Folge monoton fällt.

Für den Grenzwert betrachtest du die Rekursionsgleichung für x gegen Unendlich,

dann haben xn und xn+1 den gleichen GW g, also gilt

g = 0,5 ( g + a/g ) also   2g  =    g  +   a/g alos   g = a/g also   g = √(a)