Lineare Unabhängigkeit bei R^n. Bsp. Sind die Vektoren v1+v2,v2+v3,v3+v4,....,vn+v1 linear unabhängig?

Question

Seien v₁,v₂,.....,v_n linear unabhängige Vektoren in ℝⁿ.

A) Sind die Vektoren v₁,v₁+v_2,v₁+v₂+v₃,v₁+v₂+v₃+v₄,.....,v₁+v₂+.....+v_n  linear unabhängig?

B) Sind die Vektoren v₁-v₂,v₂-v₃,v₃-v₄,......,v_n-v₁ linear unabhängig?

C) sind die Vektoren v₁+v₂,v₂+v₃,v₃+v₄,....,v_n+v₁ linear unabhängig?

Bemerkung: was passiert bei n=2, n=3,n=4?

Comments

Hast du dir mal klar gemacht was "linear unabhängig" bedeutet bzw. welche Bedingungen es dafür gibt? Dann kannst du das nämlich ganz leicht nachrechnen unter der verwendung der linearen Unabhängigkeit von v₁,...,v_n.

Das ist wirklich nicht so schwer. Einfach mal einsetzen und rumrechnen. :)

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Ich weiss was lineare unabhängigkeit bedeutet:

Die vektoren gleich null setzten usw.

Jedoch weiss ich überhaubt gar nicht was man da rechnen und wie soll ich rechnen? Bin im ersten Semester so mit rechnen hat das doch nichts zu tun?

Könntest du mir vielleicht eine von den teilaufgaben zeigen? Die nächsten schaff ich dann bestimmt selber :)

*hoffentlch

Answer 1

A) Sind die Vektoren v₁,v₁+v_2,v₁+v₂+v₃,v₁+v₂+v₃+v₄,.....,v₁+v₂+.....+v_n  linear unabhängig?

Das sind n Vektoren, mit denen sich die Vektoren v1, v2, v3, v4,.....vn alle ausdrücken lassen.

Bsp. v₅ = (v₁+v₂+v₃+v₄+ v₅ ) - (v₁+v₂+v₃+v₄)

D.h. n linear unabhängige Vektoren. Daher müssen die gegebenen n Vektoren  v₁,v₁+v_2,v₁+v₂+v₃,v₁+v₂+v₃+v₄,.....,v₁+v₂+.....+v_n auch linear unabhängig sein.

Comments

Wieso minus?? Da bleibt dann v5=v5 übrig...?

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Bei n=2:

V2= (v1+v2)-(v1) ??

n=3

V3=(v1+v2+v3)-(v1-v2)

n=4

V4=(v1+v2+v3+v4)-(v1+v2+v3)

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Ja genau, so kannst du alle vi darstellen. (i>1)

v1 ist ja schon vorhanden.

Achtung: Zitat. Rot kleine Korrektur in deiner Rechnung.:

Bei n=2:

V2= (v1+v2)-(v1) ??

n=3

V3=(v1+v2+v3)-(v1+v2)

n=4

V4=(v1+v2+v3+v4)-(v1+v2+v3)

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Eins habe ich jedoch immer noch nicht verstanden....

Wieso kommt da ein minus dazwischen? Und wieso ist das linear unabhängig??

Ich blick da nicht durch :((

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Das sind Linearkombinationen! Schreibe es vielleicht so, wenn du das Minus nicht magst.

V3=(v1+v2+v3) + (-1) * (v1+v2)

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B) Sind die Vektoren v₁-v₂,v₂-v₃,v₃-v₄,......,v_n-v₁ linear unabhängig?

Muss man dann hier genauso vorgehen: nur statt der minus nun ein plus? Weil hier lauter - stehet?Also:
n=2V2= (v1-v2)+(v1) usw.?

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Mach am besten ein Gegenbeispiel:

v1 = (1,0,0), v2 = (0, 1 ,0), v3 = (0, 0, 1)

v1 - v2 = (1,-1,0)  = u1

v2 -v3 = (0,1,-1)  = u2

v3 - v1 = (-1,0,1) = u3

------------------------  + +

Summe aller 3 Vektoren: (0, 0,0) = u1 + u2 + u3

Da sich der Nullvektor als Linearkomination der drei Vektoren darstellen lässt, sind sie nicht linear unabhängig.

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Man wie kommt man darauf ...

Gibt es da ein Trick die ich nicht sehe?

Vielen dank für deine Antwort :)

Hat mir wirklich sehr geholfen ;-)

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Bitte. Gern geschehen.

"Man wie kommt man darauf ...

Gibt es da ein Trick die ich nicht sehe?"

"Bemerkung: was passiert bei n=2, n=3,n=4?" Heisst ja wohl, dass man etwas pröbeln soll mit kleineren n. Das ist der einzige "Trick", den ich hier sehe.