Grenzwert einer Funktion mit Wurzeln

Question

Hi,

Ich hab hier mal eine Aufgabe, an der ich schon ziemlich lange sitze, und keinen wirklich sinnvollen Ansatz gefunden habe. Hierbei soll ich den Grenzwert der Funktion ohne die Regel von l'Hospital bestimmen.

$$ \lim _{ x->\quad -\infty  }{ \sqrt { 9x²+12x-4 } -\sqrt { 9x²+3x-7 }  }  $$

Was ich versucht habe war, beide Wurzeln zu quadrieren, sodass die 2. Binomische Formel entsteht. Das war nicht wirklich sinnvoll, da dadurch die Wurzel nicht wirklich verschwindet. 

Etwas sinnvoller schien mir beide Wurzeln mit dem Kehrwert zu multiplizieren, sodass die 3. Binomische Formel entsteht, jedoch bleibt dann:

lim 9x+3 

Somit wäre der Grenzwert -∞. Was jedoch mit der Lösung, welche -3/2 sein soll, nicht übereinstimmt.

Desweiteren habe ich noch versucht beide Wurzeln als Linearfaktoren hinzuschreiben, was aber auch nichts gebracht hat.

Also ich erwarte jetzt von niemanden mir irgendwie was vorzurechnen, über ein paar Tipps in die richtige Richtung wäre ich schon sehr dankbar.

mfg Michael

Answer 1

Denk dir doch unter diese Differenz der Wurzeln einen langen Bruchstrich und darunter eine 1.

Diesen Bruch erweiterst du mit   (1.Wurzel + 2. Wurzel)

Dann hast du im Zähler deine Idee mit 3. binomi. und es bleibt eben die  9x+3
und im Nenner klammerst du bei beiden Termen in der Wurzel 9x^2 aus und ziehst aus diesem
Faktor die Wurzel, das gibt dann sowas wie   3*|x| * wurzel( 1 + .../x   -  ..(x^2)

Da bei beiden Wurzeln  3|x| davor steht kannst du das im Nenner ausklammern und damit kürzen.
Dann hast du im Zähler 3x/|x| +  3/|x|
und dann klappt es wohl

Comments

Das hab ich soweit gemacht. hab auch fast das Ergebnis. Muss ich beim Kürzen von |x| mit normal x irgendwas beachten? oder geht das. Weil leider hab ich nicht -3/2 raus sondern +3/2

$$ \frac { 3x*(3+\frac { 1 }{ x } ) }{ 3*|x|*(\sqrt { 1+\frac { 4 }{ 3x } -\frac { 4 }{ 9x² }  } +\sqrt { 1+\frac { 1 }{ 3x } -\frac { 7 }{ 9x }  } ) } $$

Wenn man nun 3x/3|x| rauskürzt steht da

$$ \frac { 3+\frac { 1 }{ x }  }{ \sqrt { 1+\frac { 4 }{ 3x } -\frac { 4 }{ 9x² }  } +\sqrt { 1+\frac { 1 }{ 3x } -\frac { 7 }{ 9x }  }  }  $$

Wenn man nun x gegen unendlich laufen lässt steht da:

$$ \frac { 3 }{ \sqrt { 1 } +\sqrt { 1 }  } =\frac { 3 }{ 2 }  $$

hab ich beim Ausklammern etwas nicht beachtet bzw. beim Kürzen?

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ok hab meinen fehler gefunden. einfach 9x +3 getrennt durch 3|x|*(....) teilen, dann ist es ersichtlicher.

danke für die hilfe :)

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Vorsicht     x/|x| kannst du nicht einfach durch 1 ersetzen,

für negative x ( und darum geht es ja) ist das = -1

Ich würd also erst mal noch  x/|x| stehen lassen