Grenzwert berechnen für Term mit Wurzeln

Question

Aufgabe:

Grenzwert berechnen für Term mit Wurzeln:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1}\left(\frac{3}{1-\sqrt{x}}-\frac{2}{1-\sqrt[3]{x}}\right) \).

Problem/Ansatz:

Ich hab da mal \( \sqrt{x} \) umgeschrieben zu x^(1/2)  und  \( \sqrt[3]{x} \) zu x^(1/3)

Dann die Linearität ausgenutzt und das in zwei Limes Ausdrücke geteilt und jeweils den Faktor im Zähler nach außen gestellt, das führe mich zu:

3* \( \lim\limits_{x\to1} \) \( \frac{1}{1-x^{\frac{1}{2}}} \) - 2* \( \lim\limits_{x\to1} \) \( \frac{1}{1-x^{\frac{1}{3}}} \)

Wenn ich jetzt x = 1 einsetzte, habe ich immer noch das selbe Problem wie am anfang, dass ich durch 0 teile und das ist auch kein L`Hospital fall, weil ich teile "1/0" und nicht z.B. "0/0"

Kann mir jemand hier bitte beim nächsten Schritt helfen.

Comments

Bringe alles auf einen Bruchstrich, dann L'Hospital anwenden.

Answer 1

x = z^6

3/(1 - z^3) - 2/(1 - z^2)

= (3(1 - z^2) - 2(1 - z^3)) / ((1 - z^3)(1 - z^2))

= ((z - 1)^2·(2·z + 1)) / ((z + 1)·(z - 1)^2·(z^2 + z + 1))

= (2·z + 1) / ((z + 1)·(z^2 + z + 1))

Lim z → 1

= (2·1 + 1) / ((1 + 1)·(1^2 + 1 + 1)) = 1/2

Comments

Ok Super, habs verstanden, danke vielmals :)

Hab bloß für die Umformung des Nenners bisschen länger gebraucht