Grenzwert von Funktionen mit Wurzeln

Question

Ich muss den Grenzwert von folgenden Funktionen bestimmen. Jedoch sind darin Wurzeln verbaut. Könnte mir bitte jemand erklären, wie ich dann vorgehen muss.

a) lim (x-->+∞) √(4x+1) / √(x)=?

b) lim (x-->+∞) √(x²+1)/ (2x)=?

c)lim (x- √(x²+2x) =?

Bitte mit Erklärung.

Answer 1

Hi,

a)

$$\lim \frac{\sqrt{4x+1}}{\sqrt{x}} = \lim \sqrt{\frac{4x+1}{x}}$$

In der Grenzwertbetrachtung ist die 1 egal. Dann kann man x kürzen:

$$\to \sqrt{4} = 2$$

b)

Gleiche Idee in der Handhabung der 1. Damit kann man im Zähler direkt die Wurzel ziehen und x kürzen.

$$\lim \frac{\sqrt{x^2+1}}{2x} \to \lim \frac{x}{2x} = \frac12$$

c)

Solche Aufgaben schreien meist nach der dritten binomischen Formel. Direkt mal ansetzen:

$$\lim (x-\sqrt{x^2+2x}) = \lim \frac{x^2-(x^2+2x)}{x+\sqrt{x^2+2x}} = \lim\frac{-2x}{x+\sqrt{x^2+2x}}$$

Nun können wir im Nenner den linearen Teil der Wurzel ignorieren und erhalten insgesamt im Nenner 2x. Das kürzen

$$\to \lim \frac{-2x}{2x} = -1$$

Grüße

Comments

Bei Aufgabe Nummer C), dass habe ich nicht verstanden wieso Sie zuerst die Binomische Formel anwenden und dann kürzen?

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Und könnten sie mir bitte bei weiteren Aufgaben weiterhelfen:

lim (x-->+∞) 1-2^x/2^x+1 =?

lim (x-->+∞) 2x²/3^x  = ich denke die Aufgabe geht so: 

lim (x-->+∞) 2x²/3^x = lim 2x2* 1/3x --> geht gegen 0 somit: lim 2x² * 0 = 0

könnte die Erklärung  so stimmen?

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Die binomsiche Formel habe ich angewendet um die Wurzel wegzubekommen.

Die löst sich ja da im Zähler auf und die Situation "0-0" bereitet keine Probleme mehr.

lim 2x²/3^x -> Die Begründung passt so nicht. Da steht prinzipiell ∞·0 und es ist nicht klar, ob ∞ oder 0 stärker ist. Das Ergebnis ist aber richtig, denn ein a^x ist stärker als ein xⁿ. Und damit geht der Bruch gegen 0.

(Du bist kein Student? Da könnte man das gut mit l'Hospital argumentieren)

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leider geht das mit der 3. Binomischen Formel nicht in mein Kopf rein....Ja ich weiß (a-b) * (a+b) = a²-b² 

aber Ich versteh einfach den Zwischenschritt nicht von im lim (x- √(x2+2x) =  lim ((x²- (x²+2x)) / (x- √(x²+2x)

Ich weiß, dass ich irgendwie Falsch denke und möchte drauf kommen was es ist.

Vielen Dank für Ihre Geduld

Mfg Damian

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Du darfst ruhig "Du" sagen ;).

Probier es mal selbst:

$$\lim (x-\sqrt{x^2+2x}) = \lim \frac{(x-\sqrt{x^2+2x})\cdot (x+\sqrt{x^2+2x})}{(x+\sqrt{x^2+2x})}= ... = \lim \frac{x^2-(x^2+2x)}{x+\sqrt{x^2+2x}} = \lim\frac{-2x}{x+\sqrt{x^2+2x}}$$

Kannst Du a und b identifizieren? Dann wende die Formel an ;).

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Okay vielen Dank habe es Jetzt Verstanden:), ich kann einfach mit 1 multiplizieren, was also (x- √(x2+2x) / (x- √(x2+2x) wäre....

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ich kann einfach mit 1 multiplizieren, was also (x+ √(x2+2x) / (x+ √(x2+2x) wäre.

Fast ;).

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Noch eine letzte Frage: was meinst du mit "linearen Teil der Wurzel"?

Diese kann ja weg gelassen werden aber wie kommst du auf 2x?

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Ich kann Dir nicht ganz folgen. Im Zähler hab ich nichts weggelassen. Nur im Nenner hab ich die 2x in der Wurzel ignoriert. Salopp gesagt haben wir da ja ∞² + 2∞. Auf das bisschen unendlich kommt es auch nicht mehr an, deswegen kann man es ignorieren ;).