Lösungsweg bei Grenzwert von Bruch mit Wurzeln?

Question

kann mir jemand bei diesem Grenzwert helfen? Also wie ist der Lösungsweg ist, um am Ende auf -2 zu kommen? (ohne L'Hospital etc - ganz normal halt).



Ich hab das probiert mit dem dritten Binom zu erweitern und zu kürzen aber irgendwie funktioniert das nicht richtig bei mir.
Vielen Dank schon mal :)

Answer 1

lim (n --> ∞) n·(√(n^4 + 1) - √(n^4 - 1)) / (√(n^4 + 2·n + 3) - √(n^4 + 3·n + 7))

Subst

a = √(n^4 + 1)

b = √(n^4 - 1)

c = √(n^4 + 2·n + 3)

d = √(n^4 + 3·n + 7)

= lim (n --> ∞) n·(a - b) / (c - d)

Gemäß 3. binomische Formel erweitern

= lim (n --> ∞) n·(c + d)·(a - b)·(a + b) / ((a + b)·(c - d)·(c + d))

Binomische Formeln vereinfachen

= lim (n --> ∞) n·(c + d)·(a^2 - b^2) / ((a + b)·(c^2 - d^2))

= lim (n --> ∞) n · (a^2 - b^2) / (c^2 - d^2) · (c + d) / (a + b)

Resubst.

= lim (n --> ∞) n · ((n^4 + 1) - (n^4 - 1)) / ((n^4 + 2·n + 3) - (n^4 + 3·n + 7)) · (√(n^4 + 2·n + 3) + √(n^4 + 3·n + 7)) / (√(n^4 + 1) + √(n^4 - 1))

= lim (n --> ∞) n · (- 2/(n + 4)) · n^2·(√(1 + 2/n^3 + 3/n^4) + √(1 + 3/n^3 + 7/n^4)) / (n^2·(√(1 + 1/n^4) + √(1 - 1/n^4)))

= lim (n --> ∞) (- 2/(1 + 4/n)) · lim (n --> ∞) (√(1 + 2/n^3 + 3/n^4) + √(1 + 3/n^3 + 7/n^4)) / (√(1 + 1/n^4) + √(1 - 1/n^4))

= -2 · 1

= -2

Answer 2

wenn du sowohl mit der entsprechenden Summe der Klammer im  Zähler als auch mit

der entsprechenden Summe aus dem Nenner erweiterst, gibt es

n * (n⁴ +1 + n⁴ + 1 ) * ( √(n⁴ + 2n + 3) + √(n⁴ + 3n + 7)  ) /  ( -n-4) *  (√(n⁴ +1) + √(n⁴ -1) )  )

=  n *2  * ( √(n⁴ + 2n + 3) + √(n⁴ + 3n + 7)  ) /  ( -n-4) *  (√(n⁴ +1) + √(n⁴ -1) )  )

= 2n /  ( -n-4)     *      ( √(n⁴ + 2n + 3) + √(n⁴ + 3n + 7)  ) /  (√(n⁴ +1) + √(n⁴ -1) )  )

Der erste Bruch geht gegen -2 und beim zweiten lässt sich in jeder Wurzel n⁴ ausklammern

und dann geht der 2. Bruch gegen 1.