Konvergenzradius von ∑^∞k=1 (-1)^k x^k /k(k+1)

Question

Meine Aufgabe ist es diesen Konvergenzradius zu bestimmen

Ich bräuchte bitte einen guten ansatz wie ich solche bsp am besten löse.

∑^∞_k=1 (-1)^k x^k /k(k+1) 

ich würde zuerst a_k+1 / a_k aufstellen für alle k die ich in meiner Summe gegeben habe setze ich k+1 

und mein ganzer term   (-1)^k x^k /k(k+1)  = ak 

Ganz wichtig mein x^k fällt weg weil 1 sich ergeben würde .

∑^∞_k=1 (-1)^k+1  /k+1(k+2) /   (-1)^k x^k /k(k+1) 

soweit richtig ? 

Answer 1

Für den Konv.radius brauchst du doch den Gw von a_k / a_k+1  und zwar die Beträge,
also ohne das (-1)^n . Das x^k fällt sowieso weg, da nur die Koeffizienten für
den Konv.radius eine Rolle spielen.

also  (1/(k*(k+1))    /    (1 / (k+1)(k+2))

((k+1)(k+2) /  (k*(k+1))   kürzen    (k+2) / k
also Grenzwert 1 , also Konvergenzradius 1.

Comments

(k+2) / k 

warum 1 ?

was setze ich denn nun für k ein ?? hätte gedacht ich muss 1 einsetzen 

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Beim Quotientenkriterium musst du doch den Grenzwert

von  a_k / a_k+1  für k gegen unendlich bestimmen.

Das ergebnsi der Umformung war (k+2) / k 

Nun denke dir hier mal große Zahlen eingesetzt,

etwa k=1000,   k=10000, etc.

dann siehst du der Bruch (k+2) / k 

hat Werte die fast gleich 1 sind.

Der Grenzwert für k gegen unendlich ist also 1.