Ich habe ein paar Fragen zu der Abbildung
ℝ→ℝ2 p↦(p,p+1) in dem Körper K
Also die Hauptfrage ist erstmals ob es eine lineare Abbildung ist nur damit ihr euch ein Bild davon machen koennte.
lin. Abb heißt: f(x+y)= f(x) + f(y) und f(k*x) = k*f(x) wenn es eine Abbildung
von einem Vektorraum in einen anderen ist.
hier wäre es so
f(x+y) = ( x+y , x+y+1 ) [ das p wird sozusagen durch x+y ersetzt]
aber f(x) + f(y) = (x,x+1) + (y,y+1) = (x+y, x+y+2)
stimmt also nicht überein, also keine lineare Abb.
Wie wird auf einℝ2 überhaupt abgebildet?
Warum steht in der abbildung (a,a+1) wie soll ich mir sowas vorstellen wie das genau abgebildet wird.
Eine Abbildung oder Funktion (die Wörter sind gleichbedeutend) ist -
lapidar formuliert - einfach nur eine Vorschrift nach der die Objekte von der
einen Menge denen der anderen Menge zugeordnet werden. Du kannst nicht jede
"Abbildung" geometrisch im Sinne von Projektion oder Drehung oder Spiegelung oder so
interpretieren.
Ist die Abbildung surjektiv,injektiv oder geht das bei ℝ→ℝ2 nicht?
doch könnte gehen, injektiv ist sie:
Denn wenn zwei Zahlen a,b das gleiche "Bild" (den gleichen Funktionswert
haben, dann ist ja (a, a+1 ) = ( b, b+1). aber zwei Paare sind nur dann gleich,
wenn sie in entsprechenden Komponenten übereinstimmen, wenn also
a = b und a+1 = b+1 gilt.
Also insbesondere a=b. Kurz: Wenn die Bilder gleich sind, sind auch die Werte, denen
sie zugeordnet sind, gleich. d.h. die Abb ist injektiv.
surjektiv würde heißen: Jedes Paar von IR^2 kommt tatsächlich als Bild irgendeiner
Zahl p vor. Das ist hier aber nicht gegeben, weil z.B. (1,3) nie als Bild vorkommen kann,
denn wenn die 1. Koordinate stimmen soll, müsste es das Bild von p=1 sein
und wenn die zweite Koordinate stimmen soll müsste p+1=3 sein, also p=2
Also nicht surjektiv.
Und was soll mir die Information verraten, dass es sich um einen Körper handelt?
An der Stelle kommt mir das auch was komisch vor. Körper heißt einfach nur: Das sind
Objekte mit denen man rechnen kann und zwar + und *.
Diese Rechenoperationen können aber durchaus ganz anders definiert sein,
als man es von den Zahlen her kennt.
Es müssen aber gewisse Gesetze erfüllt sein (Körperaxiome).
Ein weiteres Beispiel wäre:
ℂ→ℂ z↦z = Re(z) - i Im(z)
also ist das doch a+bi wird abgebildet auf a-bi richtig? JA
und dort wird der Reelle Teil vom (Imaginären Teil * i) abgezogen..
Ich habe kein Ansatz wie ich das verstehen soll.
Und was ändert sich wenn ich den Körper ℂ oder den Körper ℝ habe?
Die Objekte von C sind welche von der Art a+b*i und mit denen rechnest du unter
Beachtung der Vorgabe. dass i^2 = -1 ist.
Also z.B. (2 + 3i ) * ( 1 + i )
= 2 + 2i + 3i + 3i^2
= 2 + 2i + 3i - 3
-1 + 5i (also wieder etwas von der Form a+bi)
Das ist ja im Körper IR nicht möglich.
