Finden Sie Abbildungen h, k :ℝ→ℝ, sodass h o f =g und f o k= g

Question

Aufgabe:

Seien f: ℝ→ℝ und g: ℝ→ℝ gegeben durch

f(x) = 3x + 4

g(x) = x² +3x +5

Finden Sie Abbildungen h, k :ℝ→ℝ, sodass h o f =g und f o k= g

Tipp: Es hilft die Umkehrabbildung von f zur Bildung von h, k zu nutzen. h, k können selbst als Verknüpfungen von Abbildungen dargestellt werden. Beispielsweise gilt: idℝ = f⁻^1 o f und g o idℝ = g

Geben Sie die Abbildungsvorschrift an.

Problem/Ansatz:

Hi, ich komm bei der Aufgabe einfach nicht weiter, vielleicht könnt ihr mir helfen.

Ich habe die Umkehrabbildung gebildet von f, also f⁻^1(x) = 1/3x - 4/3

Aber ich weiß nicht, was ich jetzt machen muss :(

Danke schonmal :)

Comments

\(h\circ f = g\)  heißt \(h= g\circ f^{-1}\), also
\(h(x)=g\big(f^{-1}(x)\big)=g\big(\tfrac13x+\tfrac43\big)=(\tfrac13x+\tfrac43)^2+3(\tfrac13x+\tfrac43)+5=\tfrac19x^2+\tfrac19x+\tfrac{25}9\).

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Jetzt hab ich es glaube ich endlich verstanden, das macht auf jeden Fall Sinn dankee :)

Wäre das dann für k mit der Formel :

k= g o f ⁻^1 zu berechnen oder geht das nicht, weil das f bei f o k = g vorne steht?

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Die Komposition von Funktionen ist in der Tat nicht kommutativ, d.h. es kommt auf die Reihenfolge an. Wenn \(f\circ k=g\)  sein soll, dann ist  \(k=f^{-1}\circ g\).
Etwas ausführlicher ist \(f^{-1}\circ f\circ k = f^{-1}\circ g\). Da die Komposition von Abbildungen assoziativ und \(f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_{\mathbb R}\)  ist, ist \(k=f^{-1}\circ g\).

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Okay das macht Sinn, jetzt hab ich es verstanden, dankee :)