Bestimmen Sie f(3x).

Question

Aufgabe:

Es seien die folgenden Basen des ℝ[x]≤1 = {ax + b | a,b ∈ℝ} gegeben :

B1 = {x + 2,1}, B2 = {−2x + 1,x + 3}.

Außerdem sei die lineare Abbildung f : ℝ[x]≤1 →ℝ[x]≤1 durch die folgenden Bilder gegeben :

f(x + 2) = −2x + 1, f(1) = x + 3.


a) Bestimmen Sie f(3x).

b) Bestimmen Sie dim(Bild(f)).

c) Geben Sie eine Basis von Kern(f) an.

d) Bestimmen Sie fB1,B2.

Ich hab mir andere Fragen auf dem Forum angeschaut die ähnlich sind aber verstehe es trotzdem nicht.

Answer 1

Es ist 3x = 3*(x+2) - 6 * 1 , also

f(3x) = f( 3*(x+2) - 6 * 1 )  und wegen der Linearität

= 3*(f(x+2) - 6 *f(1))

  = 3 *( −2x + 1)  - 6 * ( x + 3 ) = -12x - 15

b) Da schon f(x+2)   und f(1) linear unabhängig sind,

ist dim (Bild(f)) = 2

c) wegen b und dim (ℝ[x]_≤1) = 2 ist Kern(f)={ 0x+0},

also besteht eine Basis nur aus dem 0-Polynom.

d) Berechne wie bei a) die Bilder der Basisvektor von B1

und stelle sie mit denen von B2 dar. Die Koeffizienten, die

du dabei brauchst, bilden die Spalten der Matrix.

Comments

"3x = 3*(x+2) - 6 * 1" Wie komme ich auf diese Rechnung und warum?

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Weil du die Bilder von x+2 und von 1 kennst.