Rang der linearen Abbildung bestimmen: F: R^3----> R^2 , (x,y,z) → ( 3x+y, z-x).

Question

Ich muss den Rang der linearen Abbildung bestimmen.

Ich versuchte ja schon die lin. Abb. als Matrix darzustellen, um dann dim (bild(f) ) zu bestimmen.

Die Darstellung hab ich aber nicht hingekriegt.

Aufgabe : Bestimmen Sie den Rang der Iin. Abb.

F: R^3----> R²  , (x,y,z) → ( 3x+y, z-x).

Ist F surjektiv?

Würde mich freuen über eure Hilfe.

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Answer 1

Annahme zwei mal gleiches F :

F: R^3----> R^2  , (x,y,z) → ( 3x+y, z-x).

Ist F surjektiv?

Schon für x=0 ergibt sich

(0,y,z) → ( y, z).

Da y und z beliebige reelle Zahlen sein können, kommen als Bilder alle Elemente von R^2 vor. Daher ist F surjektiv.

Nebenresultat:

Der Rang von F ist 2, da der Rang der Dimension des Bildraums entspricht.

Comments

Vielen vielen Dank für deine rasche Antwort.

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Ich versuchte ja schon die lin. Abb. als Matrix M darzustellen, um dann dim (bild(f) ) zu bestimmen.

Die Darstellung hab ich aber nicht hingekriegt.

F: R3----> R2  , (x,y,z) → ( 3x+y, z-x).

F(1,0,0) = (3,-1)

F(0,1,0) = (1,0)

F(0,0,1) = (0,1)

Diese Bildvektoren gehören als Spalte in die zugehörige Abbildungsmatrix. Somit zweizeilige Matrix:

Matrix M =

( 3 1 0 )

(-1 0 1 )

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Das hab ich ja dann hingekriegt, und du hast es jetzt bestätigt.

Herzlichen Vielen Dank