f(x)= (x^2-1)*e^-x^2 ableitung und extrema bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei \( f(x)=\left(x^{2}-1\right) e^{-x^{2}} \)

a) Zeigen Sie: \( f^{\prime}(x)=e^{-x^{2}}\left(-2 x^{3}+4 x\right) \).

b) Bestimmen Sie das globale Maximum sowie das globale Minimum von \( f \) im Intervall \( [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \).

Ansatz:

Die erste Ableitung habe ich hinbekommen.

in b habe ich zuerst f(wurzel -2) und f(wurzel 2) eingesetzt und habe in beiden e^-2 raus. dann habe ich die erste Ableitung gleich Null eingesetzt und habe drei nullstellen heraus: x1= 0, x2=wurzel 2 und x3= - wurzel 2.

f(0) = -1.

Habe ich nun ein globales Minimum bei f(0)= -1 und existiert kein globales Maximum, weil f( wurzel 2) = f(- wurzel 2) ist? ich bin etwas verwirrt, denn steht in der aufgabe nicht, dass es auch ein Maximum geben muss?

Answer 1

->
stimmt alles, was du gefunden hast:

-> globales Minimum bei x=0

->  lokale Maxima bei   x2=wurzel 2 und x3= - wurzel 2. - beide mit Ordinate e^{-2}

.. und da für x -> + - oo  .. f(x) -> 0  (dh die x-Achse ist Asymptote) wird also e^{-2}
gleichzeitig auch der grösstmögliche y-Wert sein, den f annimmt. Also:

=>  e^{-2} .. ist  die kleinste obere Schranke , dh das  globale Maximum
 ... das hier halt zweimal von f erreicht wird ....
kurz: -> es ist also f(x) < = e^{-2} für alle x aus R

ok?