Question

Integralrechnung:  ∫ 1/(x^2 +1)^2 dx


Wie macht man das?

Danke für die Mühe

Comments

Hi

nur mal so als Hinweis (vielleicht)...da kommt mir arctan(x) in den Kopf weil die Ableitung von arctan(x) genauso oder fasst genauso aussieht. Ich kann dir leider nicht mehr helfen, da ich sowas noch nie hatte.

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Ja das sieht so ähnlich aus aber ich hocke schon gute 3 Stunden davor. :-)

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Gut dass wir einer Meinung sind :)

Ich würde dir zwar gene helfen, aber ich hatte leider die Integralrechnung weder die Differentialrechnung in der Schule :(

Answer 1

Integralrechnung:  ∫ 1/(x² +1)² dx


andererseits kennt man (hörte man ja schon im Kommentar )
eine Stammfkt für    1 / (1+x^2) was ja auch als (1+x^2) / (1+x²)^2
zu schreiben ist.

Das Quadrat im Nenner kann ja beim Ableiten auch dadurch entstanden sein, dass bei der
Anwendung der Quotientenregel  der alte Nenner quadriert wurde, also war es vorher
was mit   (1+x^2) im Nenner, Experimentieren zeigt:
        Abl von   1/(1+x^2) gibt -2x/(1+x^2) 
und Abl von  x/(1+x^2)^2 gibt   (1-x^2) / (1 + x^2)

Das letzte lässt sich mit dem ersten von oben ganz schön verrechnen, wenn man addiert,
hat man nämlich    2  /  (1 + x^2 )^2  
Wenn man das mit viel Probieren und Experimentieren gefunden hat
kann man also ganz schlau hinschreiben

1/ (1+x^2)^2  =   0,5(1+x^2) / (1+x^2)^2      +    o,5*  (1-x^2) / (1 + x^2)
ersten Summand kürzen gibt
                          0,5 / (1+x^2)     +    o,5*  (1-x^2) / (1 + x^2)
jeder Summand wird einzeln integriert und man hat
                 F(x) =  o,5* acrtan(x)    +   o,5 * x / (1+x^2)^2

Bingo!   Beim vorrechnen würde man ja nur die letzten 5 Zeilen
aufschreiben, aber ich dachte es sei auch ganz schön, wenn man
den Weg dahin nachvollziehen kann.

Comments

Danke dir mathef aber wie kommst du von o,5*  (1-x²) / (1 + x²) auf o,5 * x / (1+x²)²? Ich komme da auf:

(2 arctan(x) - x)/ 2

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Oh Pardon, Das war  o,5*x / (1+x^2)  (ohne nochmal hoch 2 im Nenner)

Das war auch oben schon falsch, aber ohne die 2. hoch 2 stimmt es.
Ich hatte ja oben geschrieben:
also war es vorher
was mit   (1+x²) im Nenner, Experimentieren zeigt:
und danach hatte ich immer ein hoch 2 zu viel