Konvergenzradius bestimmen: ∑ x^k / (2 ^k k^2 )

Question

∞
∑    x^k / 2 ^k k² 
k=1  

im anhang habe ich versucht das bsp zu lösen
kann mich jemand korrigieren LG 

Answer 1

Für den Konvergenzradius einer Potenzreihe brauchst du nur a_n/a_n+1  oder die x-e
und musst schauen, ob das einen Grenzwert für n gegen unendlich hat.
also

(   1 /  (2^k * k^2 )   /   ( 1   /   ( 2^k+1 * (k+1)^2 )    )

= ( 2^k+1 * (k+1)^2 )      /     (2^k * k^2 )        Dann  2^k Kürzen
=  2 *(k+1)^2 )      /    k^2

aber (k+1)^2 )      /    k^2        
= ( k^2 + 2k + 1) / k^2   
=     1   +   2/k      +  1/  k^2
geht gegen 1, also
insgesamt Grenzwert 2
also Konv.radius 2

Comments

war meine rechnung nicht richtig ??

du kürzt mit 2^k 

und warum steht der 2er noch da und bei der nächsten zeile nicht mehr ??

 2 *(k+1)² )      /    k²    ............müsste der 2er hier nicht auch wegfallen

aber (k+1)² )      /    k²         
= ( k² + 2k + 1) / k²

Diese Reihe versteh ich überhaupt nicht, sicher das hier der bruchstrich steht 

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war meine rechnung nicht richtig ??

Ich glaube nicht.

du kürzt mit 2^k 

und warum steht der 2er noch da und bei der nächsten zeile nicht mehr ??

 2 *(k+1)² )      /    k²    ............müsste der 2er hier nicht auch wegfallen

oben stand 2^k+1 und unten nur 2^k , also war oben ein

Zweier mehr als unten, also bleibt nach dem Kürzen oben einer übrig.

aber (k+1)²    /    k²         
= ( k² + 2k + 1) / k²

Diese Reihe versteh ich überhaupt nicht, sicher das hier der bruchstrich steht

Die Klammer (k+1)^2 wird mit der binomi. Fo aufgelöst.  Die Klammer hinter dem hoch 2

war vertippt.

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woher weiss ich das der grenzwert 2 ist ??

mein endergebnis ist 2k +1

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1   +   2/k      +  1/  k²

Rechne das doch mal für große Werte von k aus, also z.B. k=100,

K=1000 etc.

Dann siehst du: Das Ergebnis ist fast genau 1,

Der Grenzwert ist genau 1.

Und weil ja noch die von dir rot markierte 2 dort stand,

ist insgesamt der Grenzwert 2.

Für k gegen unendlich, kommt dann halt kein k mehr vor.