Wo ist die Funktion monoton?

Question

Ich habe folgende Funktion gegeben

\( f(x)=\frac{3 x^{2}-25 x+10}{4-x} \)

Ich weiß, dass der Definitionsbereich ohne 4 ist.

D|{4}

Meine Frage: Was sind die größten Intervalle, auf denen die Funktion monoton ist? Wie berechne ich das?

Answer 1

Ableitung ist  -3 -42/(x-4)^2 also immer negativ
Monotoniebereiche von -unendlich bis 4
und von 4 bis unendlich

Answer 2

f ( x ) = ( 3 * x^2 - 25 * x + 10 ) / ( 4 - x )
f ´  ( x ) = [ ( 6 * x - 25 ) * ( 4 - x ) - ( 3 * x^2 - 25 * x + 10 ) * (-1) ] / ( 4 -x )^2
f ´( x ) = ( 24 * x - 100 - 6 * x^2 + 25 * x + 3 * x^2 - 25 *x + 10 ) / ( 4 - x^2 )
f ´( x ) = ( -3 * x^2 + 24 * x - 90 ) / ( 4 - x )^2

Der Nenner ist stets positiv.
Falls der Zähler auch positiv ist dann ist die Funktion steigend.

Monotonie steigend

-3 * x^2 + 24 * x - 90 > 0  | * (-1/3)
x^2 - 8x + 30 < 0
x^2 - 8x + 4^2 < - 30 + 16
( x - 4 )^2 < - 14

Keine Lösung.
( Der Wert eines Quadrats ist immer positiv )

Die Funktion ist stets fallend.
Monotoniebereiche
] -∞ ; 4 [
] 4 ; ∞ [