Bijektivität bei Lamda für Matrix: Wie kann ich sehen für welche X f bijektiv ist?

Question

Ich möchte ein X bestimmen, für das eine Funktion bijektiv ist (Im R^3 -> R^3).

\( \begin{array}{cc}1 & X \\ f(1)= &(X) \\ 0 & X\end{array} \),

\( \begin{array}{cc}0 & X \\ f(1)= &(1) \\ -1 & 0\end{array} \),

\( \begin{array}{cc}0 & 0 \\ f(0)= &(1) \\ 1 & X\end{array} \)

Ich komme dann auf folgende Matrix:

\( \left.\begin{array}{ccc}0 & X & 0 \\ (X-2 & 2 & 1 & \\ 0 & X & X\end{array}\right) \)

Wie kann ich jetzt sehen für welche X f bijektiv ist?

Answer 1

ich komm bei der det auf -x^3+2x^2

hattest du um x-2 eine Klammer ?

und dann ist doch det=0 für  x^2(-x+2)=0

also x=0  oder x=2

also injektiv für alle anderen x-Werte

und damit (s. 1. Antwort) auch bijektiv.

Comments

Ach herje genau die Klammer...

Also wenn die Determinante nicht 0 ist, dann ist die Abbildung also injektiv und surjektiv ? oder ist das noch genauer definiert ?

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Stand ja schon in der 1. Antwort:

det ungleich o gibt immer injektiv,

da es aber ein ENDOmorphismus ist auch surjektiv

Answer 2

Bestimme die Determinante in Abhängigkeit von \(X\). Die Abbildung ist injektiv (und dadurch, weil es ein Endomorphismus ist, automatisch auch surjektiv und damit sogar bijektiv), wenn die Determinante nicht 0 ist.

Comments

Danke für die Antwort, kannst du mir erklären, wie man die Determinante in meinem Beispiel bestimmt ?

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Wäre dann ja:
0*2*X + X*1*0 + 0*X-2*X - 0*2*0 - X*1*0 - X*X-2*X
?
aber ist das nicht wieder -X^2-2X