Wie kann ich sehen, ob eine Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist?

Question

Hallo Community,

wie kann ich nur aus einem Graphen erkennen, ob sie injektiv, surjektiv oder gar bijektiv ist bzw. nicht von den 3 genannten Eigenschaften? Gibt es da Tricks wie man dies erkennt?

Vielen Dank im Voraus.

Mfg

Answer 1

wahrscheinlich geht es um f: D→ℝ

injektiv: kein y-Wert mit 2 verschiedenen x-Werten ex.. Wenn du mit einem Lineal waagrecht über den Graphen fährst, darf das Lineal nur einmal den Graphen schneiden. Gegenbsp: Sinusfkt. oder Normalparabel

Beispiel: die rechte Hälfte der Parabel

surj: Jeder y-Wert muss Funktionswert sein, d.h einen x-Wert haben. Gegenbsp: Sinusfkt.: Zu y=3 gibt es kein x.

Bsp: y=x³ Jede reelle Zahl ist Funktionswert.

bij: beides

Reicht das als Erklärung?

Comments

Danke für die Antwort Helmus!

Genau, es geht um solche "Tricks". Hast du eventuell noch andere "Metaphern" bzw. Beispiele für die Surjektivität bzw. Bijketivität? Oder muss man stur die Definitionen von der Surjektivität und die Bijektivität lernen ?

Mfg

Beast

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Hast du eventuell noch andere "Metaphern" bzw. Beispiele für die Surjektivität bzw. Bijketivität?

Man kann jede Fkt untersuchen, habt ihr eine interessante?

Oder muss man stur die Definitionen von der Surjektivität und die Bijektivität lernen ?

Ja, ja, ja! Und kapieren!

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Kann man für die Surjektivität sagen, wenn das „Lineal“ parallel zur X-Achse gelegt wird, und der Graph (bspw. f(x) = x^3) das Lineal mehrfach schneidet, ist sie dann surjektiv? Da der ja für jeden Y-Wert  mind. 1 X-Wert zugeordnet werden kann.

Für die Bijektivität kann man sagen, wenn der Graph streng monoton wächst bzw. fällt, ist sie dann bijektiv, da ein Y-Wert eindeutig zu einem X-Wert zugeordnet werden kann.  (Bspw. f(x) = 2x)

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Kann man für die Surjektivität sagen, wenn das „Lineal“ parallel zur X-Achse gelegt wird, und der Graph (bspw. f(x) = x3) das Lineal mehrfach schneidet, ist sie dann surjektiv? Da der ja für jeden Y-Wert  mind. 1 X-Wert zugeordnet werden kann.

Drück es ganz penibel aus:

wenn das „Lineal“ parallel zur X-Achse gelegt wird, und der Graph (bspw. f(x) = x3-x) das Lineal - egal, wo das Lineal gerade liegt-  mindestens einmal schneidet, ist sie dann surjektiv? Da der ja für jeden Y-Wert  mind. 1 X-Wert zugeordnet werden kann.

Genau!

Für die Bijektivität kann man sagen, wenn der Graph streng monoton wächst bzw. fällt, ist sie dann bijektiv, da ein Y-Wert eindeutig zu einem X-Wert zugeordnet werden kann.  (Bspw. f(x) = 2x)

Nein!

str. mon. ⇒ injektiv. Für die Bijektivität reicht das nicht, Gegenbsp y=e^x

Halt das Lineal waagrecht unter die x-Achse! 

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Versteh ich dich richtig,wenn der Graph streng monoton ist unabhängig ob wachsend oder fallend ist sie injektiv?

Für die Bijektivität soll ich dann das „Lineal“ parallel unterhalb der X-Achse hinlegen?

Aber, wenn ich das „Lineal“ unterhalb der X-Achse lege, ist sie doch, wenn der Graph das Lineal mehrmals schneidet, surjektiv? Oder meinst du genau einmal?

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Versteh ich dich richtig,wenn der Graph streng monoton ist unabhängig ob wachsend oder fallend ist sie injektiv?

Ja, siehe Lineal waagrecht

Aber, wenn ich das „Lineal“ unterhalb der X-Achse lege, ist sie doch, wenn der Graph das Lineal mehrmals schneidet, surjektiv? Oder meinst du genau einmal?

Male mal e^x. Die Kurve ist nur oberhalb der x-Achse! Also nicht surjektiv, da die negativen y-Werte kein x haben, die Armen!

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Also zusammengefasst:

Injektivität:

Wenn das Lineal parallel zur X-Achse gelegt wird und der Graph das Lineal einmal schneidet, ist der Graph injektiv.

Surjektivität:

Wenn das Lineal egal wo, parallel zur X-Achse gelegt wird und der Graph das Lineal mehr als einmal schneidet ist der Graph surjektiv.

Bijektiv:

Wenn der Graph das Lineal - egal wo man es hinlegt - genau einmal schneidet ist der Graph dann Bijektiv?

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Injektivität:
Wenn das Lineal parallel zur X-Achse gelegt wird und der Graph das Lineal höchstens einmal schneidet, ist der Graph injektiv. höchstens = einmal oder keinmal

Surjektivität:
Wenn das Lineal egal wo, parallel zur X-Achse gelegt wird und der Graph das Lineal mindestens einmal schneidet ist der Graph surjektiv. mindestens = einmal oder mehrmals

Bijektivität:
Wenn der Graph das Lineal - egal wo man es hinlegt - genau einmal schneidet ist der Graph dann bijektiv? Ja

Genau so ist es. Ihr seid voll der Gauss! :)