Erster Isomorphiesatz für lineare Abbildungen

Question

Es seien K ein Körper, U₁ U₂  Untervektorräume eines K-Vektorraums U.
Zeigen Sie, dass die Abbildung
  φ: U₁ → (U₁ + U₂)/U₂ , u₁ → u₁ + U₂ eine surjektive lineare Abbildung mit ker(φ) = U₁ ∩ U₂ ist .
Konstruieren Sie mit Hilfe des Homomorphiesatzes für lineare Abbildungen einen natürlichen Vektorraum-IsomorphismusU₁ / (U₁∩ U₂) ≅ ( U₁ + U₂)/U₂

Answer 1

  φ: U₁ → (U₁ + U₂)/U₂ , u₁ → u₁ + U₂  eine surjektive lineare Abbildung mit ker(φ) = U₁ ∩ U₂ ist .

Für Linearität istzu zeigen:    (statt phi schreib ich mal f)

Für alle u,v aus U1 gilt  f(u+v) = f(u) + f(v).

Seien u,v aus U1 so gilt  f(u) = u + U2   und  f(v) =  v + U2 

und die Summe dieser Klassen ist die Klasse (u+v) + U2,

also gleich f(u+v) .

Sei u aus U1 und k aus K, dann muss man zeigen

f(k*u)  =   k* f(u).

Aber Multiplikation eines Vektors v+U2 aus (U₁ + U₂)/U₂

mit einem k aus K geschieht ja gerade so, dass die Klasse

k*v + U2 entsteht. also ist k*u+U2  =  k*(u+U2).

Also f linear.

Und die Nullklasse in (U₁ + U₂)/U₂ ist  0 + U2 = U2

Also heißt für alle v aus U1 f(v)=0, dass v+U2 die Nullklasse ist,

also v aus U2 ist. Damit also v aus U1 geschnitten mit U2.

U₁ / (U₁∩ U₂) ≅ ( U₁ + U₂)/U₂

weil f surjektiv war, ist Bild(f) = ( U1 + U2)/U2 

Also ist die Vor. des Hom-satzes erfüllt und der Isomorphismus

ist    h:  U₁ / (U₁∩ U₂) → ( U₁ + U₂)/U₂ 

mit h( u+(U₁∩ U₂) )  ---------->  f(u) mit dem f von Teil 1.