Skihalle: Beschreiben Sie den Verlauf des Hanges mit einer Funktion niedrigsten Grades. Verlauf des Hanges anpassen.

Question

Aufgabe:

In einer Skihalle soll ein Hügel für Kinder aufgeschüttet werden. Der Höhenunterschied soll \( 10 \mathrm{~m} \) betregen. Für den Hang hat man eine Länge von \( 30 \mathrm{~m} \) eingeplant. Im Punkt A soll der Hang waagerecht beginnen und im Punkt C wasgerecht enden.

a) Beschreiben Sie den Verlauf des Hanges mit einer Funktion niedrigsten Grades. Begründen Sie Ihre Wahl der Funktion und stellen Sie diese Funktion auf.

b) Zeigen Sie, dass bei ganzrationalen Funktionen der Form \( f(x)=a x^{3}+b x^{2}+d(a, b, d > 0 \) die Wendestelle in der Mitte zwischen den Extremstellen liegt.

c) Der Verlauf des Hanges soll angepasst werden. Der Hang ist weiterhin \( 10 \mathrm{~m} \) hoch. Die waagerechte Entfemung betragt nun \( t \) Meter \( (t>0) \). Die Profile der verschiedenen Hänge werden durch eine ganzrationale Funktionenschar beschrieben. Ermitteln Sie diese Funktionenschar.

(Zur Kontrolle: \( \left.f_{1}(x)=\frac{20}{t^{3}} x^{3}-\frac{30}{t^{2}} x^{2}+10\right) \)

Bestimmen Sie rechnerisch die waagerechte Entfemung zwischen den Punkten \( \mathrm{A} \) und \( C \) so, dass ein maximales Gefälle von \( 30^{\circ} \) entsteht.

d) Aufgrund der täglichen Besucher muss der Hang (Teilaufgabe a) täglich mit einer Schicht Neuschnee präpariert werden. Diese Schicht wird in einer Breite von \( 50 \mathrm{~m} \) auf dem Hang aufgetragen. Diese Schicht, die (gemessen parallel zur y- Achse) soll überall \( 20 \mathrm{~cm} \) dick sein. Berechnen Sie wie viel Schnee taglich benötigt wird.

Answer 1

Die Funktion hat 2 Extrempunkte in A und B und einen Wendepunkt.
Es ist keine Funktion 1.Grades ( Gerade ) und keine Funktion 2.Grades ( Parabel )
sondern min. eine Funktion 3.Grades.

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c*c + d
f ´( x ) = 3*a*x^2 + 2*b*x + c

Bekannt sind
f´( 0 ) = 0
f´ (10 ) = 0
f ( 0 ) = 10
f ( 10 ) = 0

Das sind 4 Angaben. 4 Unbekannte sind zu berechnen.

Nächster Schritt : die Gleichungen aufstellen.
f ´( 0 ) = 3*a*x^2 + 2*b*x + c
f ´( 0 ) = 3*a*0^2 + 2*b*0 + c = 0
c = 0

Ich höre hier zunächst auf. Bin bei Bedarf aber gern weiter behilflich.
Bis zur Komplettlösung.

mfg Georg

Comments

Wieso ist es denn eine Funktion 3 Grades , weil in der Zeichnung kein Wendpunkt zu sehen ist . Also ich sehe keinen .

Ich habe noch eine kleine Frage . Ist mit einer Funktion niedrigsten Gradesgleich Funktion 3. Grades gemeint ?

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Den Wendepunkt beachten wir zunächst einmal nicht.

In deiner Frageüberschrift ist von " einer Funktion 3.Grades " zu lesen.
1.Grades haben wir ausgeschlossen:
2.Grades auch.
Bleibt als nächste Möglichkeit 3.Grades.

f ( x ) = a*x³ + b*x² + c*c + d
f ´( x ) = 3*a*x² + 2*b*x + c

Bekannt sind
f´( 0 ) = 0
f´ (10 ) = 0
f ( 0 ) = 10
f ( 10 ) = 0

c = 0
f ( x ) = a*x³ + b*x² + d
f ´( x ) = 3*a*x² + 2*b*x 
f ( 0 ) =  a*0^3 + b*x^2 + d = 10
d = 10

f ( x ) = a*x³ + b*x² + 10
f ´( x ) = 3*a*x² + 2*b*x 

f ( 10 ) = a * 10^3 + b*10^2 + 10 = 0
f ´( 10 ) = 3 * a *10^2 + 2*b*10 = 0

1000 * a + 100 * b  + 10 = 0
300 * a  + 20 * b = 0  | * 5

1000 * a + 100 * b  + 10 = 0
1500 * a  + 100 * b = 0  | abziehen 
------------------------------
-500 * a + 10 = 0
500 a = 10
a = 0.02
300 * 0.02  + 20 * b = 0 
20 * b = -6
b = - 6/20 = -0.3

Alle Berechnungen ohne Gewähr.
Bitte die Funktionsgleichung aufstellen und mit
allen 4 Angaben überprüfen ( Probe machen )

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Wenn man den Info Text ließ , dann sind doch zwe Punkte angeeben und zwar Punkt A und C .

Bei Punkt A soll er doch waagerecht beginnen . Als A(0/10) .

Bei Punkt C endet er der Hang. Also Punkt C(30/0).

Müsste jetzt nicht Punkt B die Koordinaten (0/0) haben ?

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Ich habe einiges falsch übernommen.
Die Punkte heißen A und C.
Die Entfernung ist 30 m.

f ( x ) = a*x³ + b*x² + c*x + d
f ´( x ) = 3*a*x² + 2*b*x + c

Bekannt sind

f ( 0 ) = 10
f ´ ( 0 ) = 0
f ( 30 ) = 0
f ´ (30 ) = 0

Und jetzt die Werte in die Gleichungen einsetzen
( wie ich schon gezeigt habe )

Als erstes dürfte bereits ablesbar sein
d = 10
c = 0

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bezüglich des Wendepunkts.
Die Kurve hat zunächst eine Rechtskrümmung und zum
Schluß eine Linkskrümmung.
Dazwischen muß also ein Wendepunkt liegen.

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Ich habe jetzt als Ergebnis f(x)= 1/1350x^3-1/30x^2+10 heraus bekommen . Ist das Ergebnis richtig ?

Wir haben eine Skizze bekommen und da sie man nicht keine Krümmung.

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Da sieht man nicht einen Wendepunkt ?

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Ich habe jetzt als Ergebnis f(x)= 1/1350x³-1/30x²+10 heraus bekommen .
Ist das Ergebnis richtig ?

Wie hier schon häufiger bemerkt gibt es ein fantastisches Mittel
um zu sehen ob ein Ergebnis stimmt. Die sogenannte PROBE.

Alle 4 Angaben, von denen ausgegangen wurde, werden durch
die ermittelte Funktion wahr.

f ( x ) = 1/1350x³ - 1/30x² + 10
f ´( x ) = x^2 / 450 - x / 15
f ´´ ( x ) = x / 275 - 1 / 15

Um zu überprüfen ob es eine Wendepunkt gibt wird die
2.Ableitung zu 0 gesetzt.
f ´´ ( x ) = x / 275 - 1 / 15 = 0
x / 275 - 1 / 15 = 0
x = 15

Es gibt also einen Wendepunkt.

b.)
f ( x ) = ax^3 + bx^2 + d
( hoffentlich stimmt das. Es war nur undeutlich zu lesen )

f ( x ) = ax^3 + bx^2 + d
f ´( x ) = 3a*x^2 + 2bx
f ´´( x ) = 6ax + 2b
Extremstellen
f ´( x ) = 3a*x^2 + 2bx = 0
3a*x^2 + 2bx = 0
x^2 + ((2b)/(3a))*x = 0
x * ( x + ( (2b)/(3a) ) = 0
x = 0
x = - (2b)/(3a)
Wendestelle
f ´´( x ) = 6ax + 2b = 0
6ax + 2b = 0
6ax = -2b
x = - (2b)/(6a)
x ( wendestelle ) = [ x (extremstelle1) + x ( extremstelle2 ) ] / 2
Was zu zeigen war.

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c.)
f ( x ) = ax³ + bx² + 10
f ´( x ) = 3a*x² + 2bx

f ( t ) = at³ + bt² + 10 = 0
f ´( t ) = 3a*t² + 2bt  = 0

at³ + bt² + 10 = 0  | * 3
3a*t² + 2bt  = 0  | * t

3at³ + 3bt² + 30 = 0 
3a*t³ + 2bt^2  = 0  | abziehen
--------------------
bt^2 + 30 = 0
bt^2 = -30
b = -30/t^2

at³ + bt² + 10 = 0 
at³ + (-30/t^2)*t² + 10 = 0
at^3 - 30 + 10 = 0
at^3 = 20
a = 20/t^3

f ( x ) = 20/t^3 * x^3 - 30/t^2 * x^2 + 10

Maximales Gefälle ist am Wendepunkt
f ( x ) = 20/t^3 * x^3 - 30/t^2 * x^2 + 10
f ´( x ) = 60/t^3 * x^2 - 60/t^2 * x
f ´( t/2 ) = 60/t^3 * (t/2)^2 - 60/t^2 * t/2
f ´( t/2 ) = 15 / t - 30 /t
f ´ ( t/2 ) = - 15 /t

-15 / t = - tan ( 30 )
t = 25.98 m

d.)
f ( x ) = 1/1350 * x³-1/30 * x² +10
g ( x = f ( x ) + 0.2
h ( x ) = g ( x ) - f ( x ) = 0.2
Stammfunktion
∫ 0.2 * dx = 0.2 * x
Integral
[ 0.2 * x ]₀³⁰
6 m^2
V = 6 m^2 * 30 m = 180 m^3

Alle Angaben ohne Gewähr.
Es ist schon spät.

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Viele dank daa du dir zu späten Stunde die mühevolle Zeit genommem hast schade das ich dir für die antwort nicjt noch einen stern geben kann, könntest du mir noch sagen wieso du t/2 benutzt hast und nicht t ? Bei f ´( t/2 ) = 60/t³ * (t/2)² - 60/t² * t/2 ?

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Das maximales Gefälle ist am Wendepunkt. 
Der Wendepunkt ist bei t/2. z.B. für t = 30 m, bei
15 m.

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Jetzt habe ich es verstanden . Vielen dank georgborn