Prüfungsaufgabe: Funktionsgleichung aufstellen (Funktion 3. Grades)

Question

Aufgabe: habe hier eine Prüfungsaufgabe aus dem Teil A (Rechnerfrei):

Eine Funktion f dritten Grades weist eine einfache Nullstelle bei x1=0
und eine doppelte Nullstelle bei x2=x3=4 auf. Ihr Graph Gf ist weder
gestreckt noch gestaucht. Außerdem gilt Df = R.

Zeigen Sie über einen geeigneten Ansatz, dass f (x) = x^3 - 8x^2 + 16x 
eine mögliche Gleichung der Funktion f ist.

Wie kann ich diese sinnvoll lösen?

Problem/Ansatz:

Ich denke mal mit einem LGS, aber mir fehlt die 4. Eigenschaft, da es ja 4 Variablen sind. (f(x)=ax^3+bx^2+cx+d)

Comments

Vielen Dank für die Antworten.

Answer 1

Hier ist es ganz einfach:

f(x)= x*(x-4)^2

Answer 2

x·(x - 4)^2 = x·(x^2 - 8·x + 16) = x^3 - 8·x^2 + 16·x

Das sieht doch prima aus.

Answer 3

Eine Funktion f dritten Grades weist eine einfache Nullstelle bei x1=0
f ( 0  ) = 0
und eine doppelte Nullstelle bei x2=x3=4 auf.
f ( 4 ) = 0
f ´( 4 ) = 0

Meine Interpretation
Du sollst keine Funktion 3.Grades aufstellen sondern
Zeigen Sie über einen geeigneten Ansatz, dass
f (x) = x3 - 8x2 + 16x
eine mögliche Gleichung der Funktion f ist.
Also nur nachprüfen das die Funktion den obigen
Angaben entspricht z.B.
f ( 0  ) = 0
f (0) = 0^3 - 8*0^2 + 16*0  = 0 Bingo.

Comments

Und warum ist damit gezeigt, dass x=0 eine einfache und x=4 eine doppelte Nullstelle ist?

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oder:

x(8x^2-8x+16) = x(x-4)(x-4)

Nullstellen sind ablesbar.