Reelle n × m-Matrix. Zeigen Sie, dass die Spalten der Matrix A ein Erzeugendensystem von Im f_{A} bilden.

Question

Gegeben sei eine reelle \( n \times m \)-Matrix \( A \).

Mit \( f_{A}: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, v \mapsto A v \) bezeichnen wir die dazu gehörende lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die Spalten der Matrix \( A \) ein Erzeugendensystem von \( \operatorname{Im} f_{A} \) bilden.

Answer 1

Ja, das ist immer so. Aber das sollst du ja gerade beweisen, etwa so:

Seien a1 ,  a2  a3 , .... , am die Spalten von A, also Vektoren von IR^n

und x ein Vektor aus Im f_A . Also  gibt es ein y=(y1, ... , ym) aus IR^m mit

f_A(y) = x   also A*y = x  mit den Spalten von A geschrieben also

y1*a1 + y2*a2 + ... + ym*am = x

Also entseht jedes x aus ImfA als Linearkombination der Spalten von A.