Wie löse ich folgende Gleichung (Logarithumusfunktion Analysis I)

Question

1 )  log₁₆x + log₄x + log₂x = 7

2) log₂ (9 - 2^x ) = 3 - x

Ich weiß irgendwie nicht wirklich, wie ich da ansetzen soll. Mein Skript aus der Vorlesung, die Mitschrift und meine Formelsammlung hilft mir da auch nicht weiter, deshalb frage ich euch. Könnt ihr mir da helfen und ggfls auch die Formeln dazu aufschreiben, die ihr genutzt habt bzw. wirklich die Zwischenschritte dazu?

Diese Aufgaben dienen der Klausurvorbereitung und ich möchte sie wirklich verstehen... Danke schonmal !

Answer 1

log₁₆x + log₄x + log₂x = 7

0,25*log₂(x) + o,5*log₂(x) + log₂x = 7

   1,75*log₂(x) = 7
   log₂(x) = 7  / 1,75 = 4

    x   =   2^4 = 16
  
log₂ (9 - 2^x ) = 3 - x
        9 - 2^x  =   2^3-x  
       9  -   2^x  =   8  /  2^x
Dann mit  z=   2^x  Substitution machen

Comments

Den letzten Schritt verstehe ich da nicht, wenn du sagst 9 - 2x = 8 / 2^x . Aus 2^3-x mache ich doch normalerweise 2³ - 2^x oder ?

Und kann ich dann den log₂ einfach weglassen oder kommt der dann irgendwann wieder dazu ?

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Ich hab jetzt einfach mal ausprobiert. Aber dann kommen ja am Ende zwei Lösungen raus, denn wenn ich substituiere komme ich auf eine Quadratische Gleichung welche lautet:

z^2 - 9z + 8

Dann krieg ich zwei Lösungen raus, nämlich einmal 95/4 und einmal 67/4. Nach Substitution habe ich immer noch die 2 Lösungen, nämlich einmal (RUND?) 4,57 und dann noch (RUND?) 4,07 .

Bei einer Gleichung, wo vorher aber nur ein x drin war, können doch nicht auf einmal zwei Lösungen raus kommen oder? Was mache ich denn jetzt damit ?

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Dochm mach doch mal mit beiden Werten die Probe durch

Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung

Answer 2

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zu 1) ->

kannst du alle Logarithmen auf die Basis 2 umschreiben?

-> ?....

zu 2) ->

hast du die Aufgabe - mit allen Rechenzeichen usw.. - richtig notiert? schau nach ..

wenn ja ->

kannst du diese Gleichung lösen ? ->

9 - 2^x = 2^{ 3 - x }

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