Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit angesetztem Halbkreis.

Question

Ein Kanal leitet das meiste Wasser, wenn sein Querschnitt am größten ist.

Welche Maße hat das Rechteck, wenn der Umfang des Querschnitts 1,40 m beträgt und der Flächeninhalt möglichst groß ist?

Answer 1

Ansatz:

Fläche des Halbkreises, Umfang des Halbkreises, Fläche des Rechteckes, Umfang des Rechteckes ohne die Halbkreisseite, Skizze malen, Seiten bezeichnen, Gleichungen aufschreiben, nach getaner Vorbereitung wieder melden ...

Comments

Nun, aufgestellt habe ich bis jetzt die Hauptbedingung, Nebenbedingung und leider nur ansatzweise die Zielfunktion.

Hauptbedingung:

A= a * b + 0.5 pi * r^2

Nebenbedingung:

U=2a+b+ pi *r

1,40= 2a+b+pi *r    I -2a

1,40-2a=b+ pi *r     I -(pi*r)

1,40-2a-pi*r = b     I : 2

(1,40-2a-pi *r ) : 2 = b

Zielfunktion:

A(a) = a * (1,40-2a- pi *r) :2 + 0,5*pi*r^2

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Der Radius des Halbkreises und eine der Rechteckseiten stehen in einem direkten Verhältnis zueinander. Damit kannst du schonmal eine der Variablen in die Wüste schicken und die Gleichungen erheblich übersichtlicher gestalten.

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Also einfach pi*r weglassen oder nur r ?

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"weglassen" ist nicht so günstig!

Ersetzen wäre das Mittel der Wahl. Schau mal Deine (vermutlich unvorhandene) Skizze an und überlege wie der Radius und die eine Seite miteinander "verwandt" sind.

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Also wäre eigentlich r die eine Seite meines Rechteckes?
Könnte ich dann bei der Nebenbedingung den Umfang des Halbkreises ganz ersetzen, da ich ja schon die Seite des Rechteckes benutze.

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vielleicht solltest du doch ein Skizze anfertigen ...

... du bist auf der richtigen Spur, aber Durchmesser und Radius unterscheiden sich in einem kleinen Detail.

Ich kann auch nicht unbedingt empfehlen, den Halbkreisumfang zu substituieren, sondern besser etwas, das auch in der Flächenformel vorkommt.