(2x+1)/ (x-3) <= |x+1|
Da du mit (x-3) multiplzieren musst, musst du erst unterscheiden, ob x-3 positiv oder negativ ist
1. Fall x > 3 dann kannst du mit dem Nenner multiplizieren,
ohne das <= Zeichen umzudrehen. und dann ist ja auch x+1 positiv,
du kannst also auch die Betragsstriche weglassen:
dann hast du
2x+1 <= (x-3)*(x+1)
2x+1 <= x2 - 2x - 3
0 <= x^2 - 4x - 4
0 <= (x-2)^2 - 8
also Lösungen sind
x-2 >= √(8) oder x-2 <= - √(8)
x >= 2+√(8) oder x <= 2 - √(8)
da aber alles nur für x>3 gilt (s.o. 1. Fall ) ist dies x >= 2+√(8)
2. Fall x<3 dann musst du beim Multiplzieren das Zeichen umdrehen
2x+1 >= (x-3)*|x+1|
und der Betrag muss unterschiedlich behandelt werden, je nachdem
ob x>=-1 oder x<-1 ist.
also betrachten wir erst mal
Fall 2a: x<3 und x>=-1
dann hast du
2x+1 >= (x-3)*(x+1)
also wie oben letztendlich
0 <= (x-2)^2 - 8
also alles zwischen 2 - √(8) bis 2 + √(8) jeweils inklusive Grenzen
Da wir aber im Fall x<3 und x>=-1 sind,
ist das nur [ 2 - √(8) ; 3 [
Fall 2b: x<3 und x<-1 also kurz x<-1
dann hast du
2x+1 >= (x-3)*(-x-1)
2x+1 >= -x2 + 2x + 3
x^2 - 2 >= 0
Das gilt für x >= √(2) oder x < - √(2)
wegen x<-1 also für alle x < - √(2)
alle drei Fälle zusammen ergeben Lösungen für
alle x mit x >= 2+√(8) oder x aus [ 2 - √(8) ; 3 [ oder x < - √(2)
Lösungsmenge also ] -unendlich ; - √(2) [ ∪ [ 2 - √(8) ; 3 [ ∪ ]2+√(8) ; unendlich [
