Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung (3x-1) / (2x+4) < 2

Question

es gilt die Lösungsmenge folgender Ungleichung zu bestimmen:

(3x-1)/(2x+4)<2

Mein Ansatz:

Gesucht sind alle reellen Zahlen x mit der Eigenschaft  (3x-1)/(2x+4)<2.

Für x=-2 ist der Ausdruck (3x-1)/(2x+4) in (3x-1)/(2x+4)<2 nicht definiert, x=-2 ist also keine Lösung.

Man untersuche nun die Fälle x<-2 und x>-2

1.Fall x<-2:
Der Nenner ist negativ, wir erhalten

(3x-1)/(2x+4)<2

Wo ich jetzt hänge ist, dass dies nicht für alle x < -2 gilt. Erst ab ca. -9,000...001 gilt (3x-1)/(2x+4)<2 ..nur wie notiere ich das richtig, es scheint ja ein Intervall zwischen -2 und -9,000.....01 zu geben, wo (3x-1)/(2x+4)<2 nicht gilt.

Gruß

Answer 1

Hallo E,

(3x-1) / (2x+4) < 2       D = ℝ \ {-2} 

Mit dem Nenner multiplizieren. Hierzu musst du in der Tat die Fälle x> -2 (Nenner positiv) und x<-2 (Nenner negativ) unterscheiden:

1. Fall: x > -2

3x-1  < 2 *  (2x+4)  ⇔ x > -9 und  x >-2  

L₁ = ] -2 ; ∞ [

2. Fall: x < -2

Hier ändert sich beim multiplzieren mit dem negativen Nenner  < → >  

3x-1  > 2 *  (2x+4)  ⇔  x < -9  und  x<-2

L₂ = ] - ∞; -9 [

L = L₂ ∪ L₁ = ] - ∞; -9 [ ∪ ] -2 ; ∞ [

Gruß Wolfgang

Comments

Ich danke euch allen !!

Die zweite Aufgabe habe ich nun versucht selbst zu lösen:

(5x+1)/(3x-2)≥6

x=2/3 ist keine Lösung, man untersuche also x<2/3 und x>2/3

1. Fall x<2/3

(5x+1)/(3x-2)≥6 ⇔ 5x+1≤ 18x+12 ⇔ 1≤x
Es existieren keine reellen Zahlen x<2/3 mit dieser Eigenschaft

2.Fall x>2/3

(5x+1)/(3x-2)≥6 ⇔ 5x+1≥18x+12 ⇔ 1≥x

(5x+1)/(3x-2)≥6 gilt also genau für diejenigen x,die 2/3<x<1 erfüllen.

Die Lösungsmenge ist also L={x∈ℝ|2/3<x<1} bzw. L=(2/3,1]

---

2.Fall x>2/3 

(5x+1)/(3x-2)≥6 ⇔ 5x+1≥18x + 12 ⇔ 1≥x 

(5x+1)/(3x-2)≥6 gilt also genau für diejenigen x,die 2/3<x < 1 erfüllen. 

Die Lösungsmenge ist also L={x∈ℝ | 2/3 < x < 1} bzw. L=(2/3,1] 

Hier ist leider nicht alles richtig:

(5x+1)/(3x-2)≥6  ⇔  5x+1 ≥ 18x - 12 ⇔ 13 ≥ 13x ⇔ x ≥ 1  

Die Lösungsmenge ist also L={x∈ℝ |2/3< x ≤ 1} bzw. L=(2/3,1] 

durch einen "Ausgleichsfehler"  ist dein Ergebnis richtig

Aber du warst sehr nahe dran :-) 

 

Answer 2

(3x-1)/(2x+4)<2            | * ( 2x+4)

und weil das negativ ist wird aus < dann >

3x-1  >  4x + 8

- 9  >  x 

gilt also für alle x<- 9   ( weil  die halt auch alle < -2 sind )  

 

Answer 3

Nur mal eine mögliche Schreibweise (ohne Gewähr für Rechnung) Bitte selbst nachrechnen. 

1.Fall x<-2: Das heisst 2x+4 < 0
Der Nenner ist negativ, wir erhalten 

(3x-1)/(2x+4)<2       | * HN

3x - 1 > 2(2x +4)

3x - 1 > 4x + 8   | -3x -8

-9 > x 

 L_(1) = { x Element R | x < -2 und x<-9} = 

{ x Element R | x<-9}

2.Fall x> -2: Das heisst 2x+4 < 0
Der Nenner ist negativ, wir erhalten 

(3x-1)/(2x+4)<2       | * HN

3x - 1 <  2(2x +4)

3x - 1 <  4x + 8   | -3x -8

-9 < x 

L_(2) = { x Element R | x > -2 und x>-9} = { x Element R | x > -2} 

Total 

L = L_(1) u L_(2) = { x Element R | x < -9 ODER x > -2 } 

Kontrolle mit

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3x-1)%2F(2x%2B4)%3C2

Answer 4

Vielleicht besser so: (3x-1)/(2x+4) - 2 < 0 und dann  (3x-1)/(2x+4)-2·(2x+4)/(2x+4) < 0 bzw. (3x-1- 4x-8)/ (2x+4) < 0 und dann  (-x-9)/(2x+4) < 0. Jetzt ist der Bruch kleiner als Null, wenn Zähler und Nenner verschiedene Vorzeichen haben.