Arithmetische Folgen (Abfolgen)

Question

alle zusammen!

Ich erwähne jetzt schon, es handelt sich hier um arithmetische Folgen.

Ich stecke in einer Aufgabe fest und wäre Euch für Eure Hilfe sehr dankbar:

Klara organisiert Dosen in dreieckförmigen Stapeln, wobei jede Reihe eine Dose immer weniger hat, zum Beispiel der Stapel der 15 Dosen hat 5 Dosen in der untersten Reihe, dann  hat die Reihe über der fünften 4 Dosen usw.

(a) Ein Stapel hat 20 Dosen in the untersten Reihe.  Zeige, dass der Stapel 210 Dosen hat.

(b) Es gibt 3240 Dosen in einem Stapel. Wieviel hat die unterste Reihe.

(c) (i) There are S cans and they are organized in a triangular pile with n cans in the Es gibt S Dosen und diese sind dreieckförmig in einem Stapel organisiert, aber mit n Dosen in der untersten Reihe. Beweise, dass n²+n-2S=0 ist.

(ii) Klara hat 2100 Dosen. Erkläre, warum sie die Dosen nicht in einem Dreieck organisieren kann.

Ich stecke hier ziemlich fest, ich bitte Euch, mir die Zwischenschritte der Beispiele zu zeigen.

DANKE, im Voraus

MfG

Answer 1

Also das ganze hat weniger mit arithmetischen Folgen zu tun als mit dieser Formel, die von Gauss stammt
$$ (1) \quad S=\sum_{k=1}^n k =\frac{n(n+1)}{2} $$

Aufgabe (a)
Hier muss folgendes berechnet werden \( \sum_{k=1}^n k \) für \( n=20 \)
Das ergibt \( \sum_{k=1}^{20} k = 210 \)

Aufgabe (b)
Hier mus man (1) nach n auflösen, die Lösungen sind \( 80 \) und \( -81 \). Die negative Lösung scheidet natürlich aus.

Aufgabe (c (i))
Das ist die Umstellung der Formel (1). Es gilt
$$ (2) \quad 2S-n^2 - n = 0 $$

Aufgabe (c (ii))
Die Gleichung (2) hat für \( S=2100 \) keine ganzzahligen Lösungen für n

Answer 2

S = ∑ (i = 1 bis n) (i) = n^2/2 + n/2

(a) Es gibt 3240 Dosen in einem Stapel. Wieviele hat die unterste Reihe. 

n^2/2 + n/2 = 3240 --> n = 80

(b) i) Es gibt S Dosen und diese sind dreieckförmig in einem Stapel organisiert, aber mit n Dosen in der untersten Reihe. Beweise, dass n²+n-2S=0 ist. 

Naja 

S = n^2/2 + n/2
2S = n^2 + n
n^2 + n - 2S = 0

b) ii) Klara hat 2100 Dosen. Erkläre, warum sie die Dosen nicht in einem Dreieck organisieren kann.

n^2/2 + n/2 = 2100
n = 64.30933574

Bei 64 Reihen hat man dosen übrig und für 65 reihen zu wenig Dosen.