Ob man das im wirklichen Leben brauchst ist fraglich und kommt auf den Einzelfall an. Aber man kann definitiv festhalten, dass beispielsweise die geometrische Reihe über ein paar Ecken unser Leben wesentlicher beeinflusst als man vermutet.
Ein Beispiel. Die geometrische Reihe ist essenziell für den Beweis des sogenannten Banachschen Fixpunktsatzes. Dieser Satz sagt etwas über die Existenz von Fixpunkten unter bestimmten Voraussetzungen (falls du es nicht weißt: Sei \(f\) eine Funktion, dann ist \(\bar{x}\) ein sogenannter Fixpunkt von \(f\), wenn \(f(\bar{x})=\bar{x}\) gilt, die Funktion \(g(x)=x\) hat z.B. trivialerweise nur Fixpunkte).
Ich gebe dir im Folgenden mal zwei Beispiele an, die den Einfluss dieses Satzes (und damit in gewisser Weise auch der geometrischen Reihe) darlegen:
1) Der Banachsche Fixpunktsatz kann verwendet werden, um wichtige Resultate der Existenz- und Eindeutigkeitstheorie von Differentialgleichungen zu beweisen. Und diese Resultate sind enorm wichtig. Denn man kann beispielsweise die Flugbahnen von Satelliten mittels Differentialgleichungen beschreiben. Jetzt stell dir mal vor, für diese Flugbahnen gäbe es keine eindeutige, sondern unendlich viele Lösungen. Vermutlich wären dann deutlich weniger Satelliten ins All geschossen worden, einfach aus Angst, dass das Teil z.B. nach 2 Wochen gegen den Mond fliegen könnte, da man nicht eindeutig berechnen kann, wie sich das Gerät verhalten wird.
2) Der Banachsche Fixpunktsatz spielt in der Numerik an verschiedenen Stellen eine Rolle, denn Fixpunktgleichungen spielen dort nicht selten eine Rolle. Dies ist z.B. bei sogenannten Splitting-Verfahren der Fall. Diese Verfahren sind bestimmte Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Und das Lösen linearer Gleichungssysteme auf effiziente Art und Weise ist enorm wichtig, da z.B. bei der numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen (mit deren Hilfe z.B. die Wärmeverteilung in Pumpengehäusen beschrieben werden kann -> relevant für Simulationen z.B. im Ingenieursbereich) lineare Gleichungssysteme auftreten. Ich spreche hier übrigens nicht von so winzigen Systemen wie in der Schule, sondern von Systemen mit weit mehr als 100000 Gleichungen - aber das nur am Rande.
Du siehst also, dass so unscheinbare Dinge, wie die geometrische Reihe in der Mathematik an vielen Stellen kleinere Rollen übernimmt und dadurch für viele wichtige Resultate relevant ist. Und diese Resultate sind wiederum für uns alle relevant.
