Nullstellen einer Geradenschar in Abhangigkeit vom Parameter k

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Geradenschar \( f_{k}(x)=(k+2)(x-1) \) mit \( x, k \in \mathbb{R} \). Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geradenschar \( f_{k} \) mit der x-Achse in Abhängigkeit von k.

Musterlösung:

Bestimmung der Nullstelle:

\( f_{k}(x)=0 \)
\( (k+2)(x-1)=0 \quad |:(k+2) \) nur für \( k \neq -2 \)
\( \begin{aligned} x-1 &=0 \\ x &=1 \end{aligned} \)

Fall \( k=-2 \):
\( f_{-2}(x)=0 \quad \) Graph \( G_{f_{-2}} \) liegt auf der x-Achse

Ansatz/Problem:

Wir nehmen lineare Funktionen mit Parametern durch. Mir ist auch alles einigermaßen verständlich, nur bleibe ich bei zurzeit bei einer bestimmten Aufgabenart hängen. Ich hoffe jemand kann mir das Rechenschema einfach erklären und mir ein einheitliches Schema nennen, nach dem ich vorgehen kann.

Vor allem verstehe ich nicht warum man zwei "Fälle ?" hat und warum man = und ≠ macht.

Answer 1

(k + 2)*(x - 1) = 0

Hier gilt der Satz vom Nullprodukt. Ein Produkt wird Null wenn einer der Faktoren Null wird.

Also

k + 2 = 0
k = -2

Für k = -2 lautet die Funktion fk(x) = 0*(x - 1) = 0. Das ist also nur die x-Achse.

Für k <> -2 kann x - 1 = 0 sein und damit x = 1

Comments

Jetzt habe ich es verstanden ! Mit deinem Lösungsansatz habe ich nochmal nach dem Nullprodukt rechercheriert und es jetzt verstanden.