Scheitelpunkt aus den Nullstellen berechnen

Question

wie berechne ich aus den nullstellen den scheitelpunkt? 

die quadratische funktion f(x) = x^2+bx+c habe die Nullstellen x1 und x2. Bestimmen sie die funktionsgleichung und stellen sie diese in der scheitelpunktsform dar. 

x1 = -3,5 

x2 = 2,5 

Answer 1

Der Scheitelpunkt liegt doch immer genau in der Mitte zwischen den Nullstellen,
also hier (-3,5+2,5)/2   =  -0,5 ist der x-Wert vom Scheitelpunkt.

außerdem ist ja beim Einsetzen von x1 und x2 das Ergebnis 0
0 = 12,25 - 3,5b + c     und  o = 6,25 + 2,5b  +  c

Damit kannst du b und c ausrechnen

Comments

Hi, es ist hier möglich und auch einfacher, b und c mit dem Satz von Vieta zu bestimmen.

Die Scheitelform ist dann y = ( (x₁ + x₂) / 2 )² + b.

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Ist deutlich pfiffiger !

Allerdings stimmt die Scheitelform so nicht.

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f(x) = x²+bx+c

x1 = -3,5 

x2 = 2,5 

b = 3,5-2,5 = 1

c= -3,5*2,5 = -8,75

f(-0,5) = 0,25  + 1* (-0,5) + (-8,75) = -9

Das ist dann der y-Wert des Scheitels.

also f(x) =  (  x + 0,5) ^2   -  9

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Ja, danke! Ich berichtige mich mal, es muss heißen:

Hi, es ist hier möglich und auch einfacher, b und c mit dem Satz von Vieta zu bestimmen.

Die Scheitelform ist dann y = ( x − (x₁ + x₂) / 2 )² + b.

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Dann hast du aber das b nicht bestimmt.

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Stimmt, so ist es nicht richtig. Ich werde es später berichtigen!

Answer 2

Noch kürzer wäre zunächst. Aus den Angaben
x1 = -3,5 

x2 = 2,5

ergibt sich
( x + 3.5 ) * ( x - 2.5 ) = 0
x^2 + x - 8.75
f ( x ) = x^2 + x - 8.75
Diese Funktion hat die angegebenen Nullstellen.

Allerdings gibt es unendlich viele Funktionen welche
die Angaben auch erfüllen. z.B.
g ( x ) = 3 * ( x^2 + x - 8.75  )

Es läßt sich also kein Scheitelpunkt angeben.

Comments

Hi Georg,

das ist so nicht ganz stimmig, wenn man die Angabe bedenkt, dass f(x) = x²+bx+c gilt. Es gibt also nur eine Funktion, die die Angaben erfüllt ;).

Grüßle

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Stimmt. Ich habe mich in der Ausgangsfunktion verlesen.

Es bleibt also bei

f ( x ) = x² + x - 8.75 

Die Scheitelpunktform daraus zu machen dürfte euch
gelingen.

Falls nicht helfe ich bei Bedarf weiter.