Maximaler Definitionsbereich der Funktion: f(x) : = (x^3 - x^2 -2x)/(x^2 -1)

Question

Aus dem Funktionsverlauf ist mir klar, dass die einzige Definitionslücke 1 ist.

Wenn wir x² -1 ≠ 0 lösen, kriegen wir -1 und 1. Also was ist mit -1? Warum ist es keine Lücke?

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-2 x}{x^{2}-1} \)

Answer 1

x^3 - x^2 - 2x : x + 1  = x^2  - 2*x

x^3 - x^2 - 2x  = ( x + 1 ) * (  x^2  - 2*x )>

( x + 1 ) * (  x^2  - 2*x )
----------------------------
( x + 1) * ( x - 1 )

(  x^2  - 2*x )
----------------
( x - 1 )

Bei x = 1 ist eine Definitionslücke
Bei x = -1 war eine " hebbare Lücke "

Comments

.

na ja toll .. -> bei dieser " besten Antwort"
fehlen zB hier schon die nötigen Klammern  ->

x³ - x² - 2x : x + 1  = x²  - 2*x

.

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x³ - x² - 2x : x + 1  =

Bei Polynomdivisionen lasse ich aus Übersichtlichkeits-
gründen die Klammern immer weg.

Die Komplettrechnung sieht normalerweise so aus

x³   - x²   - 2x : x + 1  = x^2 -2x
x^3 +  x^2
-------------
       -2x^2 - 2x
       -2x^2 - 2x
       -------------

Da weiß jeder, das ist eine Polynomdivison.

---

lim x -> 1  [ ( x³ - x² - 2x) /  ( x^2 - 1 ) ]

für den Zähler kommt immer -2 heraus.

Für den Nenner

lim x -> 1(-) linksseitiger Grenzwert x = 0.99999 ...
0.9999^2 - 1 = ist eine negative 0 ( unendlich kleiner negativer Wert )
-2 / -0 = ∞

lim x -> 1(+) rechtsseitiger Grenzwert x = 1.0000001
1.0000001^2 - 1 = ist eine positive 0 ( unendlich kleiner positiver Wert )
-2 / +0 = - ∞

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Und (angenommen, dass wir jetzt die hebbare Definitionslücke haben) wenn ich das verhalten der Funktion für \( x \rightarrow \pm \infty \) bestimmen muss - soll ich auch die linke und rechte Grenzwerte gegen -1  suchen oder  nicht?

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( x³ - x² - 2x ) / ( x^2 - 1 )

So wie du geschrieben hast sollst oder willst du
lim x -> - ∞ und  lim x -> ∞ bestimmen.

Was hat das mit dem Wert bei x = -1 zu tun ?

Die Antwort ist recht einfach.
der höchste Grad der Potenz entscheidet.
x^3 geht bei weitem am höchsten gegen unendlich
x^2 weniger
x noch weniger
lim x -> ∞   [ ( x³ - x² - 2x ) / ( x^2 - 1 ) ]
reduziert sich zu x^3 / ( x^2 - 1 )
die 1 im Nenner kann auch entfallen
x^3 / x^2 = x = ∞

lim x -> -∞   [ ( x³ - x² - 2x ) / ( x^2 - 1 ) ]
reduziert sich zu x^3 / x = x^2 = x = -∞

Falls du noch einen weiteren Beweis brauchst :
mache bei f ( x ) die Division und schau dann
was die entstandene Funktion ( Asymptote ) macht
wenn sie gegen - ∞ / ∞ geht.

Answer 2

-1 ist ja auch eine Nullstelle des Zählers, di kannst also sowohl
im Zähler als auch im Nenner den Linearfaktor (x+1) ausklammern und kürezn und
hast dann für alle x ungleich -1 nur noch

f(x) = (x^2 - 2x)  /  (x-1)  Also wie gesagt nur für alle x ungleich -1
und bei -1 selbst hast du gar keinen Funktionswert
( sogenannte hebbare Definitionslücke) im Graphen siehst
du das (fast) gar nicht, weil ja nur ein einziger Punkt fehlt.

Comments

und was ist mit reche und linke Grenzwerte dann?Ich sehe , dass linke Grenzwert (x gegen 1) muss  Untendlichkeit sein, aber  ich habe immer -1/0 und das ist +∞.

Answer 3

→ auch bei x= - 1 ist eine Definitionslücke

→ du siehst das dort vorhandene "Loch" im Bildchen zwar nicht,
denn an dieser Stelle existiert ein Grenzwert,
mit dem du die Lücke schliessen kannst (aber nicht musst)
("stetige Ergänzung" )