Die Gleichung kann man auch schreiben als
$$ x'(t) = A x(t) $$
mit \( A=\begin{pmatrix} -1 & -1 \\1 & -1 \end{pmatrix} \) und \( x(t)=\begin{pmatrix} y_1(t) \\y_2(t)\end{pmatrix} \) und \( x(0)=\begin{pmatrix} 1 \\1\end{pmatrix} \)
Die Lösung sieht dann wie folgt aus
$$ x(t)=e^{At}x(0) $$
Die Matrix \( e^{At} \) kann man bestimmen, wenn man die Eigenwerte und Eigenvektoren ausrechnet und die Matrix in folgender Form darstellt
$$ A=TDT^-1 $$
wobei \( D \) eine Diagonalmatrix ist.
Dann ist \( e^{At}=Te^DT^{-1} \)
Wenn die Eigenwerrte der Matrix \( A \)
\( \lambda_1 \) und \( \lambda_2 \) sind, dann sieht die Matrix \( D \) wie folgt aus.
$$ D = \begin{pmatrix} e^{\lambda_1 } & 0 \\ 0 & e^{\lambda_2 } \end{pmatrix} $$
Die Lösungen sind
$$ y_1(t)=e^{-t}( cos(t)-sin(t)) $$
und
$$ y_2(t)=e^{-t}( cos(t)+sin(t)) $$
