Kurvendiskussion HP/WP/TP Nullstelle

Question

Zu der Funktion f(x)=(1/4)x⁴ -2x³ + (11/2 x)^{2 -6x sollen 2 Ableitungen gebildet werden. Daraus soll dann per Polynomdivision Koordinaten herausgefunden werden, die die Hohen und Tiefen Punkte beschreiben, sowie die Wendepunkte und Nullstellen.}

 ^{Ich hab erst mal die Ableitungen gebildet} 

^{f'(x)= x³-6x²+11x-6}

^{f"(x)=3x²-12x+11}

^{So dann würde ich mit Polynomdivision die 1.) Funktion umwandeln aber weiter weiss ich nicht..}

^{Hoffe ihr könnt mir helfen und zeigen welche Schritte ich machen muss} 

^{Mfg Luis} 

Comments

1. Nullstelle muss geraten werden. Es muss ein Teiler von 6 sein.  Das ist bei x = +2 der Fall.

Dividiere also durch (x-2)

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Was muss ich denn genau machen jetzt? Erst die Polynomdivision und weiter ?

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Der Teiler ist meiner Meinung auch nicht -2 da nicht null beim Einsetzen rauskommt

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hey   Luis  ...-> lies vielleicht auch mal die Antwort (siehe unten)


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Answer 1

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die Extrema findest du dort, wo f ' (x) = 0

suche also die Lösungen von ->
 x³-6x²+11x-6 = 0

Tipp: wenn es ganzzahlige Lösungen hat (wie hier) , dann sind
diese Teiler von 6...

untersuche also alle möglichen Teiler - und du wirst hier fündig werden.



nebenbei:
sicher hast du dich mit einer Klammer bei f(x) vertippt ? ->  (11/2 x)^2  ...

und noch etwas:
die Kurve selber , also
f(x) = x^4/4 -2x^3 +11/2 x^2 -6x
wird selbst
nur -> genau 2 Nullstellen haben  .. löse -> x* ( x^3- 8x^2+22x-24) = 0
-> zwei Minima und ein Maximum haben -> Nullstellen von  x³-6x²+11x-6 = 0
-> und es gibt zwei Wendestellen ..

ok?
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Comments

Ich hab nun die Polynomdivision gemacht und x²-4X+3 raus .. was soll ich nun machen ? Pq-Formel und x / y werte erhalten ? Anschließend dann?

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Eine kleine Hilfe : x²-4X+3

x^2 - 4*x + 3 = 0
jetzt mit der pq-Formel oder qua.Erg. x ausrechnen
( x^2 - 4*x + 2^2 ) = -3 + 4
( x - 2)^2 = 1
x - 2 = ± 1
x = 3
x = 1

x^2 - 4*x + 3 = ( x - 3 ) * ( x - 1 ) *

Irgendwie müßte deine Aufgabe einmal komplett richtig
berechnet werden.

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"was soll ich nun machen ?.."

-> Mann !

wenn du bei

x³-6x²+11x-6 = 0

der Reihe nach die möglichen ganzzahligen Teiler

.. wie 1, oder 2, oder 3 oder 6 oder usw..

testest, dh diese Werte für x in -> x³-6x²+11x-6 einsetzt, dann

bekommst du bei diesem Beispiel mit einem Schlag doch

gerade alle drei Lösungen, für die gilt x³-6x²+11x-6 = 0

(ganz ohne Polydiv. und wenn du 3 passende Werte gefunden hast, kannst aufhören)

-> so bequem bekommst du also die x-Werte der Extrema

Einsetzen in y=f(x) bringt dir die zugehörenden y-Werte

und mit Untersuchen von f ''(x) bei diesen 3 Stellen

kannst du auch schnell sehen, ob Min. oder Max.

alles klar?

Answer 2

Hier einmal die Berechung der Nullstellen


Die 1.Nullstelle wurde gefunden durch ausklammern von x.
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren
0 ist. Also x = 0.
Durch Raten und Probieren wurde die 2.Nullstelle gefunden
für x = 4.
Die Funktion haben wir jetzt schon umgewandelt in
x * ( x - 4 ) * Restterm = 0
Für x = 0 und x = 4 stimmt dies
Der Restterm wurde durch Polynomdivision ermittelt
und heißt
x^2 - 4x + 6
Wann ist dieser Term 0.
x^2 - 4x + 6 = 0
pq-Formel oder qua.Erg.
( x -2)^2 = -2
Dafür gibt es keine Lösung.
Die beiden Nullstellen sind also
( 0  | 0 ) und ( 4  | 0 )

Dasselbe machst du jetzt für
1.Ableitung bilden. Die Nullstellen der 1.Ableitung sind die
Extremstellen.
2.Ableitung bilden. Die Nullstellen der 2.Ableitung sind die
Wendepunkte.

mfg Georg