Formel für Scheitelstelle beweisen (x1+x2)/2=xs . Wie die Formel umformen?

Question

Nabend und zwar soll ich beweisen das gilt (x₁+x₂)/2=x_s

x₁,x₂ die nullstellen 

Xs= der x Wert des scheitelpunktes

Ich muss nun auf diese Form kommen a(x-xx₂-xx₁+x₁*x₂)

Den Beweis bekomme ich wenn ich f(x)=a(x-(x₁+x₂)/2)² in die oben genannte form bringe.

Ich habe es bis hierhin schon aufgelöst:

a * ( x^2 - xx₁ -xx₂ (x₁^2 + 2*x₁x₂ + x₂^2) / 4)

Die auflösung bis dorthin ist definitiv richtig wurde auch kontrolliert jedoch hänge ich nun kann mir jemand weiterhelfen wie gesagt es muss das rauskommen: a(x-xx₂-xx₁+x₁*x₂)

Comments

EDIT: Habe oben mit Hilfe von 'x₂' mal die Tiefstellungen gemacht. So weit ok?

Was genau weisst du über Parabeln und Scheitelpunkte? Kannst du schon ableiten?

Faktorisieren würde man deinen Funtionsterm so:

f(x) = a(x^2-xx₂-xx₁+x₁*x₂) = a(x(x-x₂) - x₁(x-x₂)) = a(x-x₁)(x-x₂)

Das hätte die Nullstellen x₁ und x₂.

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Bin verwirrt um zu beweisen das x1+x2/2=xs richtig ist muss ich es schaffen von
a(x-(x1+x2)/2)² Scheitelpunktform auf diese Form zu kommen a(x-xx₂-xx₁+x₁*x₂) Könnten sie mit das bitte herleiten von dieser Scheitelpuntform bis zu der zuletzt genannten form? wie gesagt habe die scheitelpunkform schon soweit ausmultipliziert etc das ich a * ( x² - xx₁ -xx₂ (x₁² + 2*x₁x₂ + x₂²) / 4)  raushatte

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a(x²-xx₂-xx₁+x₁*x₂) 

Ohne das rote Quadrat in meiner Rechnung geht das bestimmt nicht.

Von a(x-(x1+x2)/2)² Scheitelpunktform auf diese Form zu kommen a(x^2-xx₂-xx₁+x₁*x₂)

Ansonsten wird hier doch einfach die binomische Formel benutzt.

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Lu ,ein letztes mal bitte ich dich ich bin zu blöd wenn du echt mathe kannst dann musst du es doch hinbekommen von a * ( x² - xx₁ -xx₂ (x₁² + 2*x₁x₂ + x₂²) / 4)  auf a(x²-xx₂-xx₁+x₁*x₂)  zu kommen

löse das bitte verständlich bis dahin auf ich schaffe es nicht und so soll ich es machen wie nehme ich nun -xx2 mit der klammer mal was kommt daraus?

Bitte du bist meine letzte Hoffnung habe nun drei stunden damit verbracht will das nicht umsonst getan haben

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Wie in meiner Antwort erwähnt, ist  y = a(x-(x1+x2)/2)² nicht die Scheitelpunktform deiner Parabel. 
Es fehlt der Anteil + y_s .  a(x²-xx₂-xx₁+x₁*x₂) hat aber sicher ein y_s ≠ 0, wenn x1 ≠ x2.

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ich zeige dir mal was mir wo anders geantwortet wurde.

Betrachten wir also eine Parabel y mit zwei unterschiedlichen Nullstellen x1 und x2. Dann lässt sie sich schreiben als

y = a(x - x1)(x - x2) für ein geeignetes, reelles a [hier setze ich voraus, dass du bereits weißt, dass man einen quadratischen Term mithilfe seiner Nullstellen faktorisieren kann].

Multipliziere das aus und bring es auf die Scheitelpunktform. Du solltest dann auf

y = a(x - (x1 + x2)/2)² + t kommen, wobei t irgendein komplizierter, nicht weiter interessanter Term ist. Diese Scheitelpunktform beweist die Aussage

Meine Frage ist nun wie kommt der von der ersten gleichung auf die 2te ich kann die schritte nicht nachvollziehen in einer klausur wäre gefordert das ich das schritt für schritt machen muss. So will ich das haben

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Sollst du denn nun xs = (x1 + x2)/2 zeigen oder die allgemeine Scheitelpunktform von den Nullstellen her herleiten?

Nachtrag: Das '+t' dort ist mein 'ys'.

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Erstmal danke das du dir die Zeit nimmst mir zu helfen! Die Aufgabenstellung lautet : "Beweisen sie Mathematisch das x1+x2/2=xs gilt!"

Ist muss also beweisen das wenn ich die Nullstellen addiere und durch 2 teile ich den x wert des scheitelpunktes bekomme. Das muss ich wie gesagt Mathematisch beweisen. Wie würdest du das aufschreiben wenn dir diese Aufgabe gestellt wird bitte schreibe mir einen Rechenweg auf ich bin hier am verzweifeln.

Answer 1

Beachte: Die Scheitelpunktform muss so aussehen

y =  a(x-(x1+x2)/2)² + y_s Scheitelpunktform auf diese Form zu kommen a(x²-xx₂-xx₁+x₁*x₂).

Du musst erst noch das ys ausrechnen / oder irgendwann addieren.

y = a(x²-xx₂-xx₁+x₁*x₂) 

= a(x^2 -x(x1 + x2) + x1*x2)        |quadr. Ergänzung

= a(x^2 -x(x1 + x2)  +((x1+x2)/2)^2 - ((x1 + x2)/2)^2 + x1*x2) 

= a(x - (x1 + x2)/2) )^2  + a(-(x1 + x2)/2)^2 + x1*x2)

= a(x-(x1 + x2)/2))^2 + ys

Das genügt! hier ist ersichtlich, dass xs= (xs1 + x2)/2 ist. Um das ys bezw. t musst du dich nicht weiter kümmern.

Comments

Habe nun oben die quadratische Ergänzung benutzt und durchgerechnet. Vgl. auch Video dazu F06: https://www.matheretter.de/wiki/quadratische-funktionen

Wenn du schon ableiten kannst, genügt es, wenn du 

y = a(x²-xx₂-xx₁+x₁*x₂)  nach x ableitest.

y' = a(2x - x₂ - x₁) 

Ableitung Null setzen:

a(2x_s - x₂ -x₁) = 0

2x_s = x₂ +x₁

x_s = (x₂ +x₁)/2